Esercizio funzioni lineari - Problema cambio di base

[quickz]

Ciao,
sto studiando Algebra lineare e ho dei problemi con gli esercizi sui cambi di base delle matrici, conosco la formula ma, l'ultimo punto di questo esercizio propio non lo capisco:



la soluzione è:



Non dovrei calcolare l'inversa della matrice T e moltiplicarle per la base B ? Come fa la base canonica R^4 ad andare per T se è una matrice 4x3 ? Scusate l'ignoranza..

[Bokonon]

Come fai ad invertire una matrice che non è nemmeno quadrata?
Se $R^4$ ha come base la base canonica perchè deve "passare" per T? E soprattutto cosa significa "passare per T"?

$ T=( ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , 2 , 4 ),( -1 , -1 , -5 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
$ B=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $

Se la base scelta per $R^3$ è B allora portiamola.

$ TB=( ( 4 , 4 , 2 ),( 5 , 6 , 3 ),( -6 , -6 , -2 ),( -1 , 0 , 1 ) )=I_4*TB=M_B^C(T) $
Ed è effettivamente espressa rispetto alla base canonica $I_4$

Se la base dello spazio di arrivo non fosse quella canonica ma bensì, per esempio, le colonne di una matrice X 4x4, allora dovresti trovare una $M_B^X(T)$ tale che $TB=M_B^C(T)=XM_B^X(T)$
Ovvero l'applicazione T espressa rispetto a due basi (partenza B e arrivo X) diverse da quelle canoniche.

[quickz]

Grazie mille per la risposta! Esattamente mi chiedevo come avrei dovuto fare per invertirla, visto che mi sembra impossibile e per fortuna lo è ahah scusa se rompo ancora ma la seconda frase non l'ho capita benissimo, intendi che una base per T è la base canonica R^4? "Passare" nel senso che sia una base di T, non dovrei trovare una base R^4 aggiungendo la base canonica a T , ridurla a scalini e trovare il vettore che aggiunto alla base di T la rende una base per R^4? Scusami veramente..