tu hai chiesto se avendo due spazi qualsiasi $V,W$ di dimensione $n$ essi possano essere o meno isomorfi a prescindere dalla tipologia dello spazio; la risposta è positiva.
l'applicazione $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$ è un isomorfismo tra i due spazi, infatti
$1)$ se $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=0 => x_1w_1+...+x_nw_n=0$ e per ind. lin. si ha $x_1=...=x_n=0$
$2)$ se $w in W$ allora esistono $x_1,...,x_n in k$ tali che $w=x_1w_1+...x_nw_n$ pertanto il vettore $x_1v_1+...x_nv_n=v in V$ è tale che $L(v)=w$
la prima ti dice che è iniettiva e la seconda che è suriettiva.
La linearità è banale pertanto è una applicazione invertibile e lineare, ossia un isomorfismo tra i due spazi vettoriali.
C'è di più; questa è anche l'unica applicazione per cui $L(v_i)=w_i$ per ogni $i=1,...,n$
NB: se devi mostrare che due spazi sono isomorfi ti basta mostrare che esiste ALMENO un isomorfismo e tra due spazi aventi la stessa dimensione queste è sempre possibile per l'esempio fatto.Chiaramente l'essere isomorfi non implica che ogni applicazione tra i due spazi debba definire un isomorfismo di fatto l'applicazione nulla $L(v)=0$ con $L:V->W$ è una applicazione lineare che non è un isomorfismo
da cosa nasce quella applicazione?basta unire quanto ha scritto bokonon e quanto ha scritto caulacau
se hai uno spazio di dimensione $n$ in genere esiste un isomorfismo canonico detto
isomorfismo delle coordinate e si ottiene nel seguente modo
poni $B_V={v_1,...,v_n}$ una base dello spazio $V$ e definisci
$C_(B_V):k^n->V$ definita come $C_(B_V)(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_iv_i$
questo ragionamento ha senso per una proposizione molto importante
se $V$ è uno spazio vettoriale e $v_1,...,v_n$ sono vettori linearmente indipendenti allora ogni vettore di $v in <<v_1,...,v_n>>$ si scrive in modo unicobasta notare che $sum_(k=1)^(n)x_iv_i=sum_(k=1)^(n)y_iv_i => sum_(k=1)^(n)(x_i-y_i)v_i=0$ e per indipendenza lineare dei vettori si ha $x_i-y_i=0$ per ogni $i=1,...,n$
questo è un fatto importante perché dice che quando uno spazio dimensione finita, una volta fissata una base, ogni suo vettore può essere individuato univocamente da una stringa di coordinate e per questo ha senso inserire "
l'isomorfismo delle coordinate"
fondamentalmente gli isomorfismi ti servono per individuare completamente uno spazio, usandone un altro e se questa identificazione ti rende più facile la vita ben venga.
A questo punto verificato
(provalo) che $C_(B_V)(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_iv_i$ sia un isomorfismo si può fare la seguente considerazione
ho due spazi $V,W$ della stessa dimensione e una volta fissate le basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_n}$ vengono fissati i due isomorfismi delle coordinate $C_(B_V):k^n->V$ e $C_(B_W):k^n->W$.
Essendo l'inverso di un isomorfismo anch'esso un isomorfismo e la composizione di due isomorfismi ancora un isomorfismo allora
$L:=C_(B_W)circC_(B_V)^(-1):V->k^n->W$
è ancora un isomorfismo e lo è tra i due spazi $V,W$
questa è la rappresentazione analitica di quanto esposto da caulacau, dove;
la freccine laterali sono $C_(B_V)$ e $C_(B_W)$
la freccina in basso suppongo sia l'identità di $k^n$
invertendo la freccina $k^n->W$ si ottiene che la composizione è la freccina $V->W$, nonché la composizione fatta sopra. Inoltre l'applicazione che ti ho dato come esempio è diciamo "il pacchetto pronto" dato da $C_(B_W)^(-1)circC_(B_V)$