Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 20:58

Forse non ti è chiaro cosa significa "dimensione", ma ti perdono perché è il tuo cake day.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 15 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 21:02

Marò che tristezza.
https://tinyurl.com/yxfe3awv
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1301 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 21:06

Ora ho capito cosa intendi, ma non capisco cosa c'entri. Un conto è la dimensione di uno spazio vettoriale, e un altro è la dimensione di un altro spazio di cui esso è eventualmente un sottospazio.

Tu dici
due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.

Quel che ho capito io è: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di elementi; è chiaramente falso.

Quel che intendevi è che un sottospazio di dimensione 2 può stare in $K^3$ o in $K^4$; sì, è allora? La rappresentazione in coordinate mica è canonica; un piano in $K^3$ e un piano in $K^4$ sempre di dimensione 2 sono, anche se nel primo caso bastano meno equazioni a descrivere lo spazio.
Ultima modifica di caulacau il 25/05/2019, 21:14, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 16 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 21:07

Bokonon ha scritto:Ma $f$ è un isomorfismo?

La risposta a questa domanda, in particolare, è no, ma lo è sulla sua immagine, che è la cosa che conta.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 17 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 21:23

caulacau ha scritto:La risposta a questa domanda, in particolare, è no, ma lo è sulla sua immagine, che è la cosa che conta.

Dai suvvia...
Adesso non solo la dimensione di uno spazio vettoriale è a tiramento di c. ma pure la definizione isomorfismo.
Ma dove hai studiato? Sul manuale delle giovani marmotte?

Isomorfismo: $ f@ f^(-1)=Id $ e $ f^(-1)@f=Id $
Nel caso che ho proposto la matrice F associata ad $f$ è $mxn$ con $Rk(F)=n$ quindi non è invertibile. Punto.
Però volendo giocare un poco posso affermare che posso trovare una matrice tale che $XF=I$ ovvero la pseudoinversa.
Per la precisione $X=(F^TF)^(-1)F$
Tradotto: andando a V in W restringo il codominio e posso mapparlo all'indietro.

Ovvio che non posso fare il contrario perchè $FX=F(F^TF)^(-1)F!=I$ un altro modo per dire che non esiste $f^(-1)$
Però è interessante capire il perchè...suggerimento: $FX=F(F^TF)^(-1)F$ è una matrice di proiezione ortogonale, di cosa?

Dai che impari qualcosa
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1302 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 21:32

caulacau ha scritto:Ora ho capito cosa intendi, ma non capisco cosa c'entri. Un conto è la dimensione di uno spazio vettoriale, e un altro è la dimensione di un altro spazio di cui esso è eventualmente un sottospazio.


Bokonon ha scritto:
albalonga ha scritto:due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali)

Cosa vuol dire esattamente?


albalonga ha scritto:Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro :-D


Ma perchè credi che abbia posto la domanda?
La dimensione di uno spazio vettoriale è una definizione.
Prendi il teorema di rango + più nullità: funziona anche sono due spazi completamente diversi e con basi aventi un numero di componenti diverse. Dobbiamo riscriverlo?
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1303 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 21:34

Non credo tu debba insegnare a me cos'è un isomorfismo, semmai il contrario.

Dall'inizio.
Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro :-D

La risposta è sì: questo quadrato è commutativo e fatto di isomorfismi (la freccia tratteggiata è definita come composizione delle altre tre)

\xymatrix{
V\ar[d]\ar@{.>}[r] & W \ar[d]\\
K^n \ar[r] & K^n
}

Tu hai risposto quanto segue:
Prendiamo due spazi vettoriali $ V sube R^n $ e $ W sube R^m $ con $m>n$
Inoltre assumiamo che $dim(V)"="n$.
Data una applicazione $f: V->W$ tale che $Ker(f)={0}$, segue che è iniettiva pertanto $dim(W)"="dim(V)"="n$
Quindi abbiamo due spazi di uguali dimensioni, come da tua ipotesi.
Ma $f$ è un isomorfismo?
Tuttora non ho idea di che cosa c'entri, o di cosa pensi di aver provato in questo modo: a rileggere con attenzione non ho nemmeno idea di cosa tu abbia scritto davvero: $V$ è un sottospazio di $R^n$; ma ha dimensione $n$ (prima non mi ero accorto di questo clash di notazione); da cosa segue che $f : V \to W$ sia iniettiva di preciso? Lo hai deciso tu, l'hai imposto?

Credevo tu avessi scritto quanto segue: prendi $V\subset R^n$, e prendi un sottospazio di $R^m$ (con $m > n$) anche lui di dimensione $n$; c'è almeno una ovvia funzione lineare e iniettiva $f : V \to R^m$ che ha $W$ per immagine. Essa non è un isomorfismo, ma lo è quando sia coristretta a $W$.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 18 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 21:40

caulacau ha scritto:rileggere con attenzione non ho nemmeno idea di cosa tu abbia scritto davvero: $V$ è un sottospazio di $R^n$; ma ha dimensione $n$ (prima non mi ero accorto di questo clash di notazione)

LOL, quel simbolino significa "contenuto o uguale a" è semplice insiemistica

caulacau ha scritto: ; da cosa segue che $f : V \to W$ sia iniettiva di preciso? Lo hai deciso tu, l'hai imposto?

Da $Ker(f)={0}$ e ne deduco che non sai nemmeno cosa sia un'applicazione iniettiva.

Guarda, io scendo qua, ti lascio delirare da solo. Ciao!
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1304 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 21:52

LOL, quel simbolino significa "contenuto o uguale a" è semplice insiemistica

Se \(V\subseteq R^n\) e $\dim V=n$ non può che essere $V=R^n$. Se poi non mi dici che dimensione ha $W$ non è possibile dedurre altro che $n \le \dim W$, e mi sembra che a parte scegliere $W$ in $R^m$ tu non ne abbia fissato la dimensione.

Una $f$ iniettiva da $V$ a un'altra parte, poi, è un isomorfismo sulla sua immagine, e anche questa è insiemistica.
da $Ker(f)={0}$ e ne deduco che non sai nemmeno cosa sia un'applicazione iniettiva.

Insomma, hai scritto talmente a cazzo che non penso di aver capito una sola parola; cosa vuoi provare a confutare, di preciso?
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 19 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda anto_zoolander » 25/05/2019, 23:08

@bokonon
non ho capito cosa intendi con quell'esempio.
Io intendevo che due spazi aventi la stessa dimensione nelle varie combinazioni lineari compaiono al più lo stesso numero di scalari, non parlo della lunghezza della stringa(nel caso di $k^n$)

di fatto $L(x[(1),(0)]+y[(0),(1)])=x[(1),(0),(0)]+y[(0),(1),(0)]$ è un isomorfismo di $RR^2$ con il piano generato dai due vettori di $RR^3$
Error 404
Avatar utente
anto_zoolander
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 3919 di 9002
Iscritto il: 06/10/2014, 15:07
Località: Palermo

PrecedenteProssimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google Adsense [Bot] e 1 ospite