Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda manuelb9393 » 25/05/2019, 12:09

Buongiorno, avrei bisogno di una mano riguardo l’ultima parte di un esercizio:
In pratica ho due relazioni di equivalenza, una definita su $mathbb{R}^2$ da $ xRy \leftrightarrow x_2-x_1^2=y_2-y_1^2$ e l’altra indotta dalla funzione $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x_2-x_1^2$ definita da $xR_f y \leftrightarrow f(x)=f(y)$.
Ho dimostrato che f è un’identificazione (mediante un Teorema mi è bastato mostrare che f è suriettiva, continua e aperta). Ho mostrato anche che le due relazioni di equivalenza sopra definite coincidono, e dunque che gli spazi quoziente ottenuti “quozientando” $\mathbb{R}^2$ rispetto le due relazioni sono omemorfi.

La richiesta conclusiva che non riesco a decifrare è di dimostrare che $\mathbb{R}^2//R$ è omeomorfo a $mathbb{R}$.

Sicuramente mi basta mostrare che $\mathbb{R}^2//R_f$ è omemorfo a $mathbb{R}$ usando il fatto che f è identificazione. Ed è questo che non riesco a fare. Accetto gentilmente consigli
manuelb9393
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda otta96 » 25/05/2019, 12:41

manuelb9393 ha scritto: $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ è un’identificazione

Cosa vuol dire essere un'identificazione (o per lo meno a cosa è equivalente che in questo caso può essere utile)?
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 12:59

Hai una mappa canonica \(\mathbb R^2/R_f \to \mathbb R\), indotta da $f$; questa è un omeomorfismo (inizia col dimostrare che è biiettiva).
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda manuelb9393 » 25/05/2019, 13:44

otta96 ha scritto:
manuelb9393 ha scritto: $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ è un’identificazione

Cosa vuol dire essere un'identificazione (o per lo meno a cosa è equivalente che in questo caso può essere utile)?


Abbiamo definito un’identificazione come un’applicazione tra spazi topologici che sia suriettiva e continua per cui l’insieme di arrivo sia dotato di una topologia che coincide con la topologia quoziente indotta dalla funzione stessa, ossia i cui aperti sono quegli insiemi per cui la contrimmagine mediante le funzione stessa è un aperto dello spazio di partenza.

caulacau ha scritto:Hai una mappa canonica \( \mathbb R^2/R_f \to \mathbb R \), indotta da $ f $; questa è un omeomorfismo (inizia col dimostrare che è biiettiva).


Esatto, ho fatto esattamente questo: per l’iniettività ho usato la definizione mentre la suriettività segue dal fatto che f è suriettiva.

Essendo più preciso quindi non sono riuscito a mostrare che una mappa siffatta sia continua con inversa continua oppure che sia continua e aperta/chiusa.

La funzione l’ho definita così $h([x])=f(x)$. È forse sbagliato il modo di definirla"?
manuelb9393
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda otta96 » 25/05/2019, 14:19

manuelb9393 ha scritto:Abbiamo definito un’identificazione come un’applicazione tra spazi topologici che sia suriettiva e continua per cui l’insieme di arrivo sia dotato di una topologia che coincide con la topologia quoziente indotta dalla funzione stessa, ossia i cui aperti sono quegli insiemi per cui la contrimmagine mediante le funzione stessa è un aperto dello spazio di partenza.

Quindi puoi dimostrare che una funzione continua è un'identificazione se e solo se la mappa indotta al quoziente è un omeomorfismo sull'immagine.
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda manuelb9393 » 26/05/2019, 11:17

Non ho ben capito cosa intendi per “mappa indotta al quoziente”. Inoltre non ho presente cosa sia un omeomorfismo sull’immagine, a meno che non sia ciò che l’intuito lascia pensare. Cioè si intende che data $f:X\rightarrowY$ si ha $X$ omemomorfo a $Im(f)$?
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Re: Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi

Messaggioda otta96 » 26/05/2019, 17:52

Ogni funzione $f:X->Y$ definisce una mappa $\tilde{f}:X/~->Y$ dove $~$ è la relazione tale che $AAx,y\inX, x~y<=>f(x)=f(y)$.
Negli spazi topologici se la funzione di partenza era continua anche la mappa indotta al quoziente lo è.
Inoltre il motivo per cui si introducono le identificazioni è che una funzione continua è un'identificazione se e solo se la mappa indotta è un'omeomorfismo con l'immagine (si, vuol dire proprio ciò che l’intuito lascia pensare).
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