Buongiorno, avrei bisogno di una mano riguardo l’ultima parte di un esercizio:
In pratica ho due relazioni di equivalenza, una definita su $mathbb{R}^2$ da $ xRy \leftrightarrow x_2-x_1^2=y_2-y_1^2$ e l’altra indotta dalla funzione $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x_2-x_1^2$ definita da $xR_f y \leftrightarrow f(x)=f(y)$.
Ho dimostrato che f è un’identificazione (mediante un Teorema mi è bastato mostrare che f è suriettiva, continua e aperta). Ho mostrato anche che le due relazioni di equivalenza sopra definite coincidono, e dunque che gli spazi quoziente ottenuti “quozientando” $\mathbb{R}^2$ rispetto le due relazioni sono omemorfi.
La richiesta conclusiva che non riesco a decifrare è di dimostrare che $\mathbb{R}^2//R$ è omeomorfo a $mathbb{R}$.
Sicuramente mi basta mostrare che $\mathbb{R}^2//R_f$ è omemorfo a $mathbb{R}$ usando il fatto che f è identificazione. Ed è questo che non riesco a fare. Accetto gentilmente consigli