Costruzione applicazione lineare

[Ale112]

Salve, avrei dei problemi con il seguente esercizio:
Definire, se possibile, $f:R^3->R^3$ tale che Kerf=V e Imf=W con:
W=<(2,1,1),(1,2,2)> e V=<(1,0,-2),(0,1,3)>.

Svolgimento:

Le condizioni da imporre per il kerf sono:
f(1,0,-2)=(0,0,0)
f(0,1,3)=(0,0,0)
Le condizioni per l'immagine:
f(1,0,0)=(2,1,1)
f(0,1,0)=(1,2,2)
f(0,0,1)=(3,3,3) con (3,3,3) un qualsiasi vettore di W.

Con tutte queste condizioni dovrei avere infinite applicazioni.Arrivo a trovare un'applicazione che varia a seconda di due parametri, ma per nessun valore fissato dei due trovo un applicazione che soddisfi tutte le precedenti, dove sbaglio?

[Bokonon]

Prima ragionare, poi fare calcoli.
Se ti chiedessi di applicare il teorema di nullità più rango, cosa scriveresti?

[Ale112]

$dim(Kerf)+dim(Imf)= dimR^3 = 3$
dove dim(Imf) = rango della matrice associata e dim(Kerf)=2.
Avrei quindi dim(Imf)=1 e quindi bastano solo tre condizioni che mi individuano un'unica applicazione, giusto?

[gugo82]

No.

[Bokonon]

$dim(Kerf)+dim(Imf)= dimR^3 = 3$

Questo è ciò che deve accadere.
Adesso calcola $dim(Kerf)$ e $dim(Imf)$ da come sono stati definiti nel problema.

[Ale112]

Hanno entrambi dimensione 2, non dovrebbe esistere quindi l'applicazione?

[Bokonon]

Hanno entrambi dimensione 2, non dovrebbe esistere quindi l'applicazione?

Appunto...e ti sei risparmiato i calcoli.

Quindi per rimediare cambiamo V in ${(-1,1,1), (3,-3,-3)}$
Trova, se possibile, l'applicazione lineare

[Ale112]

Sono due vettori linearmente dipendenti quindi la dimKerf=1 e dimImf=2. Le condizioni che impongo sono:
f(-1,1,1)=(0,0,0)
f(0,1,0)=(2,1,1)
f(0,0,1)=(1,2,2)
i vettori del dominio formano una base e quindi c'è un'unica applicazione.Facendo i calcoli viene
$f(x,y,z)=(3x+2y+z,3x+y+2z,3x+y+2z)$
Può andare?

[Bokonon]

Può andare?