basi

[sara09]

buonasera mi aiutate a fare questo esercizio, il testo mi dice che già che sono sottostai vettoriali ma devo trovare una base di :
1))W =((1,2,-1,-1),(2,2,1,-1),(0,-2,3,1),(0,1,0,1) ⊆ $R^4$
2)) H{(a+c)+(a+b)x+(b-c) $x^2$}⊆ R[x]≤2.

il primo l?ho risolto scrivendo la matrice:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , -1 ),( 2 , 2 , 1 , -1 ),( 0 , -2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ) $
e ho scritto la base considerando i primi tre vettori non indipendenti di questa matrice cioè:
B={(1,2,0,0),(2,2,-2,1),(-1,1,3,0)}

per il secondo non ho come fare potete darmi una mano??

[vict85]

Non capisco il testo, comunque \(\mathbb{R}[x]^{\le 2} \cong \mathbb{R}^3\), quindi scrivi i polinomi rispetto alla base canonica e risolvi il problema come se si trattasse di \(\mathbb{R}^3\).

[sara09]

Non capisco il testo, comunque \(\mathbb{R}[x]^{\le 2} \cong \mathbb{R}^3\), quindi scrivi i polinomi rispetto alla base canonica e risolvi il problema come se si trattasse di \(\mathbb{R}^3\).

scusa ho corretto..non ho capito scusa potresti spiegarmi meglio?

[vict85]

L'isomorfismo canonico tra \( \mathbb{R}[x]^{\le 2}\) e \(\mathbb{R}^3 \) è dato da \(a + bx + cx^2 \mapsto (a,b,c)\).

Supponendo che si abbia \(H = \{ (a+c)+(a+b)x +(b-c)x^2 : a,b,c\in \mathbb{R} \} \subseteq \mathbb{R}[x]^{\le 2}\), hai che \(H\) è generato dai vettori \(\{1+x, x+x^2, 1-x^2\}\) (trovati semplicemente ponendo le varie variabili a 1 azzerando le altre). Tramite l'isomorfismo canonico hai l'insieme di generatori \(\{(1,1,0), (0,1,1), (1,0,-1)\}\in \mathbb{R}^3\) (l'insieme genera la immagine di \(H\) tramire l'isomorfismo). Cosa puoi dire su questo insieme?