Problema con esercizio su applicazioni lineari (definite da immagini)

[monicaX]

Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio sulle applicazioni lineari. L'esercizio è il seguente:

Sia f: $ R^3rarr R^4 $ un'applicazione tale che
f(1,1,1)=(1,0,0,0)
f(0,2,0)=(1,0,1,0)
f(0,1,1)=(0,0,2,0)
f(1,1,0)=(a,b,c,d)
determinare a,b,c,d in modo che le condizioni precedenti determinino in modo univoco un'applicazione lineare.

Ora, io non saprei nemmeno da dove iniziare. Devo verificare che i vettori di partenza siano linearmente indipendenti? Potete aiutarmi?

[Bokonon]

Puoi scrivere il sistemone usando le prime 3 trasformazioni.
La matrice F associata all'applicazione f ha dimensione 4x3, quindi potresti scrivere una matrice con 12 incognite e provare a risolvere il sistema (che in effetti ha una soluzione unica).
Oppure puoi risparmiarti di scrivere un sacco e notare che la trasformazione $F(0,2,0)=(1,0,1,0)$ è davvero un buon punto di partenza perchè isola la seconda colonna di F. Se chiamiamo $f_1$ $f_2$ $f_3$ le tre colonne (4x1) di F, allora questo vincolo significa che: $0*f_1+2*f_2+0*f_3=2*f_2=(1,0,1,0)$
Quindi $f_2=(1/2,0,1/2,0)$....e una colonna ce l'abbiamo.
Poi vorrai passare a $f(0,1,1)=0*f_1+1*f_2+1*f_3=f_2+f_3=(0,0,2,0)$
Da cui $f_3=(0,0,2,0)-f_2=(0,0,2,0)-(1/2,0,1/2,0)=(-1/2, 0, 3/2, 0)$
E ora abbiamo anche la terza colonna di F.

Resta infine il vincolo $f(1,1,1)=(1,0,0,0)$