Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 31/05/2019, 00:21

Ultimo punto da svolgere di una mia simulazione di prova d'esame:
Esibire la matrice della $ f_1 $ , rispetto alla base di $ X_(-2) $ .
Il problema assegna in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni $ { ( 2x_1+x_2+(k+1)x_3+3x_4=0 ),(x_1-x_2+x_3+(1-k)x_4=0 ),( -x_1+(k-3)x_2+5x_3+3x_4=0 ):} $ e la matrice $ A_h = ( ( 2 , 5 , h , -5 ),( 1 , h+1 , -1 , -3 ),( h+2 , 3 , 1 , -2 ),( -1 , -5 , 2 , 3+2h ) ) $ .
Inizialmente trovo che per $ k=-2 $, le equazioni sono dipendenti ed il sottospazio mi rappresenta un piano con dimensione 2 e base $ B= ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( -2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , avendo scartato la terza equazione.
Determino poi che per $ h=1 $, $ f(x)=A_1\cdot x $ mi definisce un'applicazione lineare da $ X_-2 $ in se stesso.
Non capisco adesso cosa l'esercizio richieda; quella matrice da esibire cos'è e cosa mi rappresenta? E' per caso la matrice 2x2 dei coefficienti dell'applicazione rispetto alla base sia "in entrata che in uscita", cioè $ [f]_(B)^B $? Se si, questo posso farlo perchè sono in presenza di un endomorfismo?
Scusate ho le idee poco chiare chiare su quest'ultimo punto. Necessito di chiarimenti. Grazie
fedeing.
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda caulacau » 31/05/2019, 10:23

Non solo di un endomorfismo, ma di un endomorfismo per cui $X_{-2}$ è invariante, ossia $f|_{X_{-2}}$ assume valori in $X_{-2}$. E' questo il caso, per la $f$ che ti hanno dato?
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 31/05/2019, 14:06

Si, si. Ed io come ho fatto: determino $ h_0 $ per cui $ f(x)=A_(h_0) \cdot x $ , $ f: X_-2 rarr X_-2 $ (richiesta dell'esercizio) , mettendo in $ X_-2 $ i valori di $ f( ( 0 ),( 1 ),( 1),( 0 ) ) $ e/o $ f( ( -2 ),( 1 ),( 0),( 1 ) ) $. In entrambi i casi trovo che l'applicazione da $ X_-2 rarr X_-2 $ è verificata per $ h_0 = 1 $.
Mi manca solo da esibire quella matrice che l'esercizio richiede e che non capisco cosa sia.
fedeing.
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda Bokonon » 31/05/2019, 16:58

Potresti postare l'esercizio completo?
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 31/05/2019, 18:04

Esercizio completo:
Al variare di $ k,h in R $ considerare in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni ... e la matrice $ A_h= $ ... :
1) Determinare $ n_1 , n_2 in N $ e $ k_0 in R $ tali che $ dim(X_k) = n_1 $ per $ k!= k_0 $ e $ dimX_(k_0) = n_2 $
(fatto: per k=-2, dimX=2 e per $ k != -2 $, dimX=1 )
2) Esibire una base di $ X_k $ per k=3 e per $k= k_0 $ (fatto)
3) Determinare $ h_0 in R $ tale che la formula $ f(x) = A_(h_0) \cdot x $ definisca un'applicazione lineare $ f: X_(k_0) rarr X_(k_0) $ (fatto)
4) Esibire la matrice della $ f_(h_0) $ del punto 3) rispetto alla base di $ X_(k_0) $ del punto 2) (non fatto)
fedeing.
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda Bokonon » 31/05/2019, 22:44

Ok, sono perplesso. Mi sa che, come hai detto tu, intende la matrice associata 2x2.
Vediamo se ci sono altre idee dagli utenti.
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda caulacau » 01/06/2019, 11:28

Mi manca solo da esibire quella matrice che l'esercizio richiede e che non capisco cosa sia

Prendi una base di $X_{-2}$; ce l'hai, diciamo che si chiama $\{u,v\}$; ora ci sono dei coefficienti (unici) $a,b,c,d$ tali che $f(u)=au+bv, f(v)=cu+dv$. La matrice che ti interessa è \(\left(\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right)\).

No?
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Re: Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 01/06/2019, 15:55

Benissimo. Allora la matrice intesa dovrebbe essere $ ( ( 4 , -5 ),( -3, 2 ) ) $ .
Grazie mille a tutti quanti. A presto
fedeing.
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