Sottospazi di polinomi ed applicazioni lineari. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 12/06/2019, 15:46

Ho il sottospazio dei polinomi di grado max. 3 $ X = {p(t)in R_(<=3)[t] : 3p(-1) -p'(1)=0} $ ed una sua base B $ B = ( ( 1 ),( t ),( 7t^2 ),( t^3 ) ) ( (2),(t),(4t^2),(t^3) ) ( ( -1 ),( 2t ),(5t^2 ),(-t^3) ) $ .
Ho poi una matrice $ A_k=( ( 4 , 3 , k+1),( k-2 , 1 , -4 ),( 10 , 8 , 4k+3 ) ) $ con $ kin R $ variabile.
L'esercizio mi dice che definita l'applicazione $ f_k:Xrarr X $ tale che $ [f_k]_B^B = A_k $ , determinare :
1) Il valore $ k_0 $ per il quale $ f_(k_0) $ non è iniettiva.
2) Esibire una base del nucleo di $ f_(k_0) $
3) Provare che $ −1 + 3t + 15t^2 $ appartiene a X e calcolare la sua immagine tramite $ f_-2 $

Volevo partire dal verificare l'uguaglianza $ [f_k]_B^B = A_k $ , ma non riesco a definire $ f_k $ come $ A_k \cdot t $ per ricavare la matrice dei coefficienti rispetto alla base "in entrata ed in uscita".
Ho bisogno dell'intera risoluzione dell'esercizio, aiutatemi per favore.
fedeing.
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Re: Sottospazi di polinomi ed applicazioni lineari. Esercizio

Messaggioda caulacau » 12/06/2019, 17:19

fedeing. ha scritto:Volevo partire dal verificare l'uguaglianza $ [f_k]_B^B = A_k $ , ma non riesco a definire $ f_k $ come $ A_k \cdot t $

Perché gli spazi vettoriali di polinomi mettono sempre in difficoltà le persone? Non è questo quel che devi fare; devi prendere $A_k$ e, se essa è scritta nella base canonica di \(\mathbb{R}_{\le 3}[t]\), scriverla nella nuova base.

Devi poi trovare un valore $k_0$ tale per cui il sistema lineare $A_{k_0}v=0$ ha come spazio delle soluzioni una cosa di dimensione $\ge 1$. Trovare una base per questo spazio. Etc.
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Re: Sottospazi di polinomi ed applicazioni lineari. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 15/06/2019, 17:47

No scusami. Continuo a non capire. Cosa dovrei scrivere come combinazione lineare degli elementi della base?
fedeing.
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Re: Sottospazi di polinomi ed applicazioni lineari. Esercizio

Messaggioda caulacau » 15/06/2019, 21:27

Una base di \(\mathbb R[t]\) è fatta da \(\{1,t,t^2,t^3,\dots,t^n,\dots\}\); ciò significa che i vettori della base $B$ che ti hanno dato non si scrivono come hai scritto tu, bensì così:
\[
B = \{( 1 , 1 , 7 , 1 ), ( 2, 1, 4, 1 ) , ( -1, 2 , 5 , -1 )\}
\] Ciò per dire che $4t^2$ non è uno scalare in \(\mathbb{R}_{\le 3}[t]\); è un vettore, precisamente si tratta del vettore \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\1\\0\end{smallmatrix} \right)\). Al netto di questa precisazione, l'esercizio è un comune esercizio di algebra lineare.

In particolare,
definire $ f_k $ come $ A_k \cdot t $ per ricavare la matrice dei coefficienti rispetto alla base "in entrata ed in uscita".
non ha molto senso: $t$ è il vettore \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0\\0\end{smallmatrix} \right)\), come fai ad applicarlo a $A_k$? Anche appartenendo esso a $X$ (non lo fa, perché \(3p(-1) -p'(1)\neq 0\)), e avendolo scritto in base $B$, che senso avrebbe questa operazione?

Quel che devi fare, piuttosto, è prendere un generico elemento di \(X = \mathbb{R}_{\le 3}[t]\), diciamo \(v = \left(\begin{smallmatrix} a\\b\\c\end{smallmatrix} \right)\), e considerare la matrice che, nella base $B$, manda $v$ in $Av$. Questo prescrive l'azione di $f_k$... esattamente come l'applicazione che, dando ad $X$ base $B$ a dominio e codominio, ha matrice $A_k$. Tautologico, n'est-ce pas?

Ora, devi trovare quei valori di $k$ tali che $A_k$ ha nucleo non banale, come certamente hai già fatto troppe volte. Non lo farò al posto tuo, se non altro perché è un'operazione elementare, e risolve il punto 1.

Un tale valore di $k$ (probabilmente è solo uno) ora ti permetterà, una volta fissato, di trovare una base di \(\ker f_k\). Questo risolve il punto 2.

Da ultimo, devi verificare che il vettore \(\left(\begin{smallmatrix} -1\\3\\15\\0\end{smallmatrix} \right)\) appartiene a $X$; lo fa: quali sono le sue coordinate nella base $B$? Diciamo che sono \(\left(\begin{smallmatrix} a\\b\\c\end{smallmatrix} \right)\); di conseguenza, la sua immagine mediante \(f_{-2}\) non può che essere il prodotto di matrici \(A_{-2}\cdot \left(\begin{smallmatrix} a\\b\\c\end{smallmatrix} \right)\): anche questo è un conto che sai fare.
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Re: Sottospazi di polinomi ed applicazioni lineari. Esercizio

Messaggioda fedeing. » 16/06/2019, 22:55

No dai. Sto impazzendo. Perchè il generico elemento di $ X $ che prendi non è del tipo $ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) $ ?
Per precisare con $ t $ intendevo erroneamente il vettore $ ( ( 1 ),( t ),( t^2 ),( t^3 ) ) $ . Perchè come fai a definire un'applicazione per uno spazio non di polinomi in $ R^3 $, data la matrice dei coefficienti per esempio: $ f(x) $ la definisco come $ A\cdot x $ con $ x=( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) $ e $ A_(3xx 3) $. E ciò che volevo fare io (sbagliando) era questo.
Ti ringrazio per la pazienza. Spero anche io sia l'ultimo chiarimento prima di capire.
fedeing.
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