Esercizio studio base del nucleo ed immagine

" Si consideri l’applicazione lineare $T : R^4 → R^3$ tale che $T((x, y, z, t)) = (2x + y + t, 2x + z + t, z −y − t)$.
(i) Determinare una base di Ker T e una base di Im T e dire se T `e iniettiva e suriettiva.
(ii) Determinare la matrice associata all’applicazione lineare T nei riferimenti $ B = (( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 0, 0, 1, 0), ( 0, 0, 0, 1)) $ di $R^4$ e $ B' = (( 1, 0, 1),( 0, 1, 1), ( 0, 0, 1)) $ di $R^3$ "

(i)Ho dei dubbi a riguardo di quest'esercizio.
Riscrivo la matrice associata e la riduco con Gauss:

$ ( ( 2 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $

Dapprima ho pensato che il rango di questa matrice fosse 2 poi con una calcolatrice online mi è uscito che è 3. il -1 dell'ultima riga devo considerarlo come pivot?
Avendo rango massimo la matrice ha nucleo uguale a 0 secondo il teorema delle dimensioni, quindi l'applicazione è biettiva. Però alla prima riga della traccia avevo subito pensato che l'applicazione non fosse iniettiva perché da $R^4 -> R^3$ quindi non un elemento di $R^4$ pensavo rimanesse "scoperto" essendo $R^4 > R^3$, no?

(ii) Normalmente da $R^n -> R^n$ saprei anche farlo l'esercizio ma quando si tratta di basi diverse non so come mettere mano

up

Se quella è l'applicazione corretta allora la matrice associata che hai scritto è sbagliata.
Ricontrolla

La matrice associata sarebbe:

$(( 2, 1, 0, 1), ( 2, 0, 1, 1), ( 0, -1, 1, -1))$

poi la matrice che vedi sopra è questa ridotta con Gauss.

(ii) Per il secondo punto che mi dici?

Ah ok, avevi già ridotto, errore mio.
$(( 2, 1, 0, 1), ( 0, 1, -1, 0), ( 0, 0, 0, 1))$
Ci sono tre pivot, quindi ha rango 3. La terza colonna della matrice originale è combinazione lineare delle prime due.
Quindi le altre formano una base per l'immagine che ha dimenzione 3.
Il kernel ha dimensione 1 e una sua base si trova risolvendo il sistema omogeneo per esempio $ ( ( 1 ),( -2 ),( -2 ),( 0 ) ) $

Per il secondo punto, ti chiede di riscrivere la matrice associata rispetto alla base canonica di $R^4$, quindi resta tale e quale a quella che hai già trovato.
Poi hai una base $B^'$ e devi riscrivere le colonne della matrice associata.
Ad esempio esprimendo la colonna $(2,2,0)$ come comb. lineare delle tre colonne di $B^'$ viene fuori $(2,2,0)$
Esprimendo la colonna $(1,0,-1)$ come comb. lineare delle tre colonne di $B^'$ viene fuori $(2,1,-1)$
E così via...

Ok gentilissimo