Applicazione lineare

Ciao a tutti,avrei dei problemi con il seguente eserczio:
Sia $f : M2(C) → M2(C)$ l’applicazione definita da f(A) = A −(trasposta di A coniugata).
Provare che f e un’applicazione lineare di ` R-spazi vettoriali, ma non di C-spazi vettoriali.

Io parto con lo scrivermi la forma generica dell'applicazione. Per farlo considero la generica matrice(scritta come vettore) A di taglia 2x2:
A=(a,b,c,d) con a,b,c,d numeri complessi. Ho quindi f(a,b,c,d)=(a-a(coniugato),b-c(coniugato),c-b(coniugato),d-d(coniugato)).
I generatori dell'immagine di f sono:
(a-a(coniugato))*(1,0,0,0)+(b-c(coniugato))*(0,1,0,0)+(c-b(coniugato))*(0,0,1,0)+(d-d(coniugato))*(0,0,0,1)).
Ora, i coeff. sono numeri complessi quindi non dovrei concludere che f è lineare tra C-spazi vettoriali? Non capisco dove sbaglio.

Devi davvero scrivere meglio le formule, non si capisce niente.

Comunque, il tuo errore è pensare che la coniugazione, ovvero la mappa di \(\mathbb C\) in \(\mathbb C\) data da \(z\mapsto \overline{z}\), sia \(\mathbb C\)-lineare. Rifletti bene su questa cosa. La coniugazione è \(\mathbb R\)-lineare, ma non è \(\mathbb C\)-lineare.