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Si consideri il sottospazio vettoriale W = ((1, 0, 1, −2),(1, 2, 0, −2),(−1, 2, −2, 2)) dello spazio vettoriale
numerico $R^4$.Determinare:
(i) una base di W;
(ii) una base di $R^4$ che contenga una base di W;
(iii) un sottospazio vettoriale di $R^4$ che abbia dimensione 2 e intersezione nulla con W.

Vorrei un confronto con voi ragazzi:
(i) Scrivo la matrice associata dei tre vettori e riduco con Gauss:

$(( 1, 1, -1), ( 0, 2, 2), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$

la base di $B(W) = { a_1v_1, a_2v_2}$ ovvero i primi due vettori in colonna sono base di W
(ii) utilizzo la base calcolata precedentemente e l'associo alle basi canoniche di $R^4$ quindi:

$(( 1, 0, 1, -2), ( 1, 2, 0, -2), ( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$

Verifico tramite il determinante che siano linearmente indipendenti e lo sono.

(iii) Riscrivo semplicemente le basi canoniche:
$(( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$

Punto 1): Una base di W è $[ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( -2 ) ] ,[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( -2 ) ] $.

Punto 2): E' sbagliato. Devi anzitutto verificare che il sistema lineare omogeneo generato dai vettori di W ammetta come una unica soluzione il vettore nullo. Fatto questo, per generare una base di $RR^4$ devi aggiungere due vettori a W tali che i vettori siano mutuamente ortogonali. Una base di $RR^4$ è $ [ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( -2 ) ] ,[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( -2 ) ],[ ( -2 ),( 1 ),( 2 ),( 0 ) ] ,[ ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $.

Punto 3): Corretto

2) Scusami potresti dirmi le fonti per capire meglio cosa devo fare

Nessuna fonte: basta sfruttare il fatto che vettori ortogonali sono tra loro indipendenti

mmmh, capito. però anche quelli inseriti da me sono linearmente indipendenti fra loro

$[ ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ] \cdot[ ( -2 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ] =-2!= 0rArr $ non ortogonali $rArr$ non indipendenti.

EDIT: Ad essere precisi c'è anche da dire che vettori indipendenti possono anche non essere ortogonali, quindi non sempre vale questa implicazione, ma siccome $ -[ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] =0 $ c'è dipendenza.

Grazie, quindi mi basta fare il prodotto, ho capito bene?

Guarda l'edit.

cioè?

giulio0 ha scritto:mmmh, capito. però anche quelli inseriti da me sono linearmente indipendenti fra loro

cioè che i vettori della matrice che hai scritto non sono tra loro indipendenti.