Esercizio base sottospazio vettoriale

Non ho capito cosa intendi per mutuamente ortogonali, intendi che devo fare il prodotto scalare? La matrice da me inserita restituisce come determinante -2 quindi un determinante diverso da zero e se il determinante è diverso da zero allora i vettori sono linearmente indipendenti

Non ho capito cosa intendi per mutuamente ortogonali, intendi che devo fare il prodotto scalare? La matrice da me inserita restituisce come determinante -2 quindi un determinante diverso da zero e se il determinante è diverso da zero allora i vettori sono linearmente indipendenti

Se la matrice a cui ti riferisci è quella del punto ii), no.

si quella del punto due, ho controllato pure il rango ed è massimo quindi sono indi.

Convinto tu. In ogni caso, come ti ho fatto vedere, è sufficiente applicare il metodo di Laplace per verificare la dipendenza.

@Mobley
Temo che abbia ragione giulio0

@giulio0
la base per $R^4$ è ok, ma il determinante è -1...non -2

Il problema però è che non include i due vettori lin. indip. di W.
L'esercizio ti chiedeva di completare la base di W, non di trovare una base a capocchia

@Mobley
Temo che abbia ragione giulio0

Errore mio, ho rifatto i calcoli e avevo messo uno $0$ al posto di un $1$
Si, il determinante è $-1$ quindi sono indipendenti. In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono, quindi la base che ha scritto è sbagliata.

In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono

Ma non è vero Mobley!
Basta aggiungere due vettori che siano lin.idip. : non devono essere necessariamente perpendicolari.
Per esempio aggiungendo ai primi due vettori di W i vettori (0,0,1,-1) e (1,1,1,0) abbiamo una base di $R^4$ i cui vettori non sono mai perpendicolari a coppie.

In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono

Ma non è vero Mobley!
Basta aggiungere due vettori che siano lin.idip. : non devono essere necessariamente perpendicolari.
Per esempio aggiungendo ai primi due vettori di W i vettori (0,0,1,-1) e (1,1,1,0) abbiamo una base di $R^4$ i cui vettori non sono mai perpendicolari a coppie.

Hai ragione, mi sono espresso male, guarda il mio edit precedente intendevo dire che verificare l'ortogonalita dei vettori è a mio avviso il modo più sicuro per far sì che la base di $RR^4$ lo sia effettivamente. Fatto sta che la base scritta è sbagliata.

Il problema però è che non include i due vettori lin. indip. di W.
L'esercizio ti chiedeva di completare la base di W, non di trovare una base a capocchia

In che senso? Io ho scritto che vettori linearmente indipendenti sono base di $W$

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