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Nello spazio vettoriale $R^4$
si consideri il sottospazio vettoriale W = L((1, 0, 1, 1),(0, 1, 1, 1),(1, −1, 0, 0)).
(i) Determinare una base di W.
(ii) Il vettore (2, −1, 1, 1) appartiene a W? ◦ Si ◦ No Perché?

Buongiorno ragazzi, mi piacerebbe avere un confronto con voi:

(i) scrivo la matrice associata e riduco con Gauss per scoprire quali sono i vettori linearmente indipendenti e che quindi fungono da base allo spazio vettoriale:

$(( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 1, -1, 1, 0)) $

da qui vedo che tutti i vettori fungono da base.

(ii) per vedere se un vettore appartiene allo spazio vettoriale devo controllarlo sulla base o su tutti i vettori che contiene (in questo caso tutti i vettori che contiene fungono da base)? Quindi riscrivo così:

$ a( 1, 0, 1, 1) + b( 0, 1, 1, 1) + c( 1, -1, 0, 0) = ( 2, -1, 1, 1)$

$ { ( a + c = 2 ),( b - c = -1 ),( a + b = 1 ),( a + b = 1 ):} $

$ { ( c= 2-a),( b = 1 -a ),( a = a ), (a = a):} $

Il sistema è indeterminato quindi non ammette soluzioni allora il vettore non appartiene allo spazio vettoriale(?)

Punto 1): No, una base di W è $[ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ] ,[ ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ] $.

Punto 2): Si, il vettore appartiene a W perché per $x_3=1$ e $x_4=1$ si ha $[ ( 2 ),( -1 ),( x_3 ),( x_4 ) ]=[ ( 2 ),( -1 ),( 1 ),( 1 ) ]$.

Ok rifacendo i calcoli di entrambi mi trovo. L'unico mio dubbio è quello se devo uguagliare la base al vettore che si vuoole verificare l'appartenenza o a tutti e tre i vettori