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Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si considerino le rette

s:= $ { ( x − y + z = 1 ),( x + y + z = −1 ):} $ e $r := (0, 0, 1) + (1, 1, 0)t$.

(a) Le rette s ed r sono sghembe? ◦ Si ◦ No Perché?
(b) Determinare la comune perpendicolare a s ed r.
(c) Determinare un piano parallelo sia a r sia a s.

Vorrei avere un confronto con voi:

a) scrivo la matrice associata delle due rette e calcolo il rango se questo è massimo allora non sono sghembe altrimenti lo sono. Per prima cosa riscrivo la retta s in forma parametrica:

$ { ( x = t - z ),( y=t ),( z = -x-t ):} $

quindi come parametri ho il vettore ( 1, 1, -1). Ora scrivo la matrice associata e calcolo il rango:

$(( 1, 1, -1), (1, 1, 0))$

il rango è 1 quindi le rette sono sghembe.

b) controllo che le rette sono parallele e lo sono, essendo parallele allora esiste una retta perpendicolare ad entrambe. Trovo il vettore $( 1, -1, 0)$ il cui prodotto scalare con entrambi i vettori dà 0.

c) Qui avevo pensato di trovare una retta parallela ad entrambe che appartiene ad un piano, ma una volta trovata la retta come trovo l'equazione del piano?

La parametrizzazione non è solo sbagliata ma non ha proprio senso. Tralaltro perchè prima non semplifichi la retta s?
Grida per essere semplificata in $ s:{ ( x+z=0 ),( y=-1 ):} $
Mentre $ r:{ ( x-y=0 ),( z=1 ):} $
La soluzione del sistema è immediata: le due rette si incontrano in $P=(-1,-1,1)$

Parametrizzando $ s:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) $ abbiamo che una direzione perpendicolare ad entrambe le rette è data dal prodotto vettoriale delle direzioni delle due rette, per esempio la direzione $(1,-1,1)$
Da cui abbiamo che:
a) la retta $ k:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( -1 ),( -1 ),( 1 ) ) $ perpendicolare e comune ad entrambe r e s.
b) il piano passante per P e contenente entrambe le rette è $pi:x-y+z=1$ e i piani paralleli sono il fascio $x-y+z=d$ con $d!=1$

Non ho capito quasi nulla di ciò che hai fatto potresti essere più chiaro? come hai semplificato le due rette e come ti trovi P?