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Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 05/06/2019, 17:30
da molleggino
Sia f:{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}->R^3
f(1,1,0)=(3,2,0)
f(0,1,1)=(0,2,1)
f(1,0,1)=(3,0,1)

Si può estendere f ad un applicazione lineare di R^3? Se fosse possibile in quanti modi si potrebbe fare? Quale sarebbe la matrice associata ad f' nel riferimento naturale? Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale f' sia diagonalizzabile o meno e determinare (sempre e solo con le definizioni) autovalori, autovettori e autospazi. (allego foto dell'esercizio)

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Immagine


analizzando per parti "Si può estendere f ad un applicazione lineare di R^3?" penso intenda se posso estende il dominio di f ad R^3, quindi visto che i vettori del domninio sono indipendenti e base di R^3 è posibile estendere l'applicazione. Giusto?

Se fosse possibile in quanti modi si potrebbe fare? questa domanda non l'ho capita.

Quale sarebbe la matrice associata ad f' nel riferimento naturale?
Secondo i miei calcoli f(1,0,0)=(3,0,0) f(0,1,0)=(0,2,0) f(0,0,1)=(0,0,1) quindi la matrice associata al riferimento naturale
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001
correggetemi se sbaglio.


Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale f' sia diagonalizzabile o meno
per definizione f è diagonalizzabile se esiste un riferimento attraverso il quale la matrice associata ad f è diagonalizzabile.

e determinare (sempre e solo con le definizioni) autovalori, autovettori e autospazi.
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico. v vettore di R^3 è un autovettore con autovalore h se f(v)=hv e v=0.


Non credo di aver colto il punto delle domande, confido in voi, grazie in anticipo!

Re: Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 05/06/2019, 18:39
da Bokonon
molleggino ha scritto:analizzando per parti "Si può estendere f ad un applicazione lineare di R^3?" penso intenda se posso estende il dominio di f ad R^3, quindi visto che i vettori del domninio sono indipendenti e base di R^3 è posibile estendere l'applicazione. Giusto?

Quasi. Devi mostrare che i vettori del dominio proposti sono una base perfettamente papabile di $R^3$. Fin qua ok.
Poi fai notare anche che considerando appunto quella base, le immagini formano anch'esse una base di $R^3$.
Quindi f è un isomorfismo.
In altro modo, rispetto a quella base, la matrice associata ad f è $ F=( ( 3 , 0 , 3 ),( 2 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ ed è invertibile, ergo f è una funzione biettiva.
molleggino ha scritto:Se fosse possibile in quanti modi si potrebbe fare? questa domanda non l'ho capita.

Segue che la f, definita come sopra, è unica.

molleggino ha scritto:Quale sarebbe la matrice associata ad f' nel riferimento naturale?
Secondo i miei calcoli f(1,0,0)=(3,0,0) f(0,1,0)=(0,2,0) f(0,0,1)=(0,0,1) quindi la matrice associata al riferimento naturale
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correggetemi se sbaglio.

Corretto. Hai derivato la f riseptto alla base canonica. $F^'$ è quella matrice diagonale
molleggino ha scritto:Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale f' sia diagonalizzabile o meno
per definizione f è diagonalizzabile se esiste un riferimento attraverso il quale la matrice associata ad f è diagonalizzabile.
e determinare (sempre e solo con le definizioni) autovalori, autovettori e autospazi.

Data una matrice associata ad una applicazione, si dirà diagonalizzabile se è possbile trovare una nuova base tale che la matrice associata a questa nuova base è diagonale. Ma $F^'$ è già diagonale...quindi la base resta la stessa, ovvero quella canonica. Sostanzialmente hai $F^'=IF^'I^(-1)=F^'$
Gli autovalori sono la diagonale di $F^'$ e gli autovettori la base canonica.

In altro modo puoi fare vedere $F^'e_1=3*e_1$ e $F^'e_2=2*e_1$ e infine $F^'e_3=1*e_1$

Re: Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 05/06/2019, 19:31
da molleggino
Prima di tutto ti ringrazio per l'interessamento e per la risposta dettagliata! :-D
Bokonon ha scritto:Quasi. Devi mostrare che i vettori del dominio proposti sono una base perfettamente papabile di $R^3$. Fin qua ok.
Poi fai notare anche che considerando appunto quella base, le immagini formano anch'esse una base di $R^3$.
Quindi f è un isomorfismo.
In altro modo, rispetto a quella base, la matrice associata ad f è $ F=( ( 3 , 0 , 3 ),( 2 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ ed è invertibile, ergo f è una funzione biettiva.


In pratica devo spiegare che essendo un sistema di generatori indipendete di dim massima (=3) sarà una base di R^3? o cos'altro mi sfugge che deve necessitare un sistema di vettori per essere una base?

Quindi dimostrando la biettività saprò che ogni immagine corrisponde ad un solo elemento del dominio e viceversa e quindi non ci sono altri "modi" per esprimere un immagine se non tramite l'unico elemento correlato, e questo vuol dire che l'applicazione è unica? quindi se ho capito bene basterebbe dimostrare l'iniettività? questa parte non mi è ancora ben chiara.

Re: Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 05/06/2019, 20:03
da Bokonon
Esatto. Fai vedere che F porta una base di $R^3$ in un'altra base di $R^3$, un isomorfismo. Quindi l'applicazione è biettiva (sia iniettiva che suriettiva).
Di isomorfismi del genere ce ne sono infiniti ma ce n'è solo uno che causa quello specifico cambiamento di base sia in un senso che nell'altro (è invertibile).

Re: Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 06/06/2019, 11:51
da molleggino
In pratica è l'unico isomorfismo che trasformerà ogni elemento del dominio in quell'unica immagine? e questo perchè è una biezione invertibile? abbi pazienza potresti spiegarmi perchè succede questo?
ps: un applicazione per essere invertibile non basta dire che è biettiva? non sono le sole ed uniche applicazioni invertibili?
pps: In pratica visto che $f:R^3->R^3$ (chiamando $V$ lo spazio di partenza e $W$ quello di arrivo per chiarezza $f:V->W$) e che $dim(Imm(f))=3 <=> dim(ker(f))=0$ possiamo dire che $f$ sarà biettiva $=> \forall v ∈ V \exists ! w ∈ W : f(v)=w$ ogni elemento del dominio V sarà in relazione con 1 ed 1 solo elemento del codominio W tramite $f$.Quindi per rispondere alla domanda esiste un solo modo.

Re: Esercizio come estendere ad applicazione lineare

MessaggioInviato: 06/06/2019, 13:08
da Bokonon
Ok, proviamo a ripercorrere l'esercizio.

Ti viene data una trasformazione. E poi ti viene chiesto che sia possibile estenderla a tutto $R^3$.
Quindi devi chiederti "che tipo di applicazione è?"
Se F è iniettiva, allora è anche suriettiva visto che va da $R^3->R^3$. Penso sia immediato capire che se una funzione mappa ogni singolo vettore di $R^3$ del dominio su un diverso vettore di $R^3$ nell'immagine, allora possiamo anche rimapparla indietro. Ok? Quindi la funzione è biettiva ed esiste una sola ed unica applicazione lineare che prende esattamente tutti gli elementi del dominio e li associa 1 ad 1 con gli tutti gli elementi dell'immagine in quello specifico modo.
Molleggino, ci sono 5 maschi e 5 femmine. Formo 5 coppie. In quanti altri modi posso creare quelle specifiche 5 coppie?
Riepilogando, se F è iniettiva, zero problemi: esiste ed è unica e possiamo pure affermare che è biettiva. Ok?

Se F non è iniettiva invece allora potrebbe anche non esistere un'applicazione del genere tout court.

Ora uso un metodo rapido ma comunque formale per evidenziare il ragionamento.
Chiamiamo A la matrice dei vettori del dominio e B quella dei vettori dell'immagine. Esiste una matrice F tale che $FA=B$?
Non lo so. Vediamo di che pasta è fatta F. Se è iniettiva, allora ha $det(F)!=0$ ovverosia $ker(F)={0}$.
Hai scoperto che A è formata da vettori l.i. quindi $det(A)!=0$
Sappiamo anche che $det(FA)=det(F)*det(A)=det(B)$
Questo ci dice che se $det(B)=0$ allora forzatamente $det(F)=0$ quindi non è iniettiva e ci si rimbocca le maniche.
Se invece $det(B)!=0$ allora anche $det(F)!=0$ e sappiamo che F è biettiva (vedi sopra perchè) e possiamo trarre la conclusione immediatamente.
Quindi cosa dovevi fare che non hai fatto?