Equazione di un ellisse ruotata

Messaggioda MilliXho » 07/06/2019, 12:51

Buongiorno, apro questo post per chiedervi un consiglio su un esercizio.
Devo trovare l'equazione di un'ellisse dato il centro $C=(1,-1)$ e due vertici $V_1=(3,3)$ e $V_2=(3,-2)$.

Ho pensato di scrivere l'equazione generica dell'ellisse traslata di $C$, che sarebbe $(x-1)^2/a^2 + (y+1)^2/b^2 = 1$.
Ora riesco a ricavarmi $a$ e $b$ trovando rispettivamente la distanza tra $C,V_1$ e $C,V_2$, ma poi come posso ruotare l'ellisse?.
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Re: Equazione di un ellisse ruotata

Messaggioda Bokonon » 07/06/2019, 23:37

Benvenuto MilliXho
L'idea è corretta. Proviamo ad eseguirla in questa sequenza.
Immagine
Abbiamo un centro e due vertici. Scegliamo che le distanze:
$ bar(CV_1)=2sqrt(5)=b$ e $ bar(CV_2)=sqrt(5)=a $
siano rispettivamente il semiasse maggiore e minore di una ellisse centrata nell'origine $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
Da cui ricaviamo l'equazione $4x^2+y^2=20$
Immagine
Ora vogliamo ruotare questa ellisse in modo da portare la base canonica lungo le direzioni $vec(CV_1)$ e $vec(CV_2)$
Per la precisione costruiamo due versori (per non alterare le dimensioni dell'ellisse) e ci "ruotiamo sopra" la base canonica in questo ordine:
$e_1=(1,0) -> (V_2-C)/(||V_2-C||) =(2/sqrt(5),-1/sqrt(5))$
$e_2=(0,1) -> (V_1-C)/(||V_1-C||) =(1/sqrt(5),2/sqrt(5))$
E costruiamo la matrice di rotazione (una matrice ortonormale) $ R=1/sqrt(5)( ( 2 , 1 ),( -1 , 2 ) ) $ ovvero la rotazione che prende il generico vettore di $R^2$ e lo ruota $R( ( x ),( y ) ) =( ( x^' ),( y^' ) ) $
Da cui ricaviamo la nostra trasformazione $( ( x ),( y ) ) =R^(-1)( ( x^' ),( y^' ) )=R^T ( ( x^' ),( y^' ) )$
(perchè, essendo R una matrice ortornormale abbiamo che $R^(-1)=R^T$).
Scrivendola per esteso abbiamo che $ { ( x=2/sqrt(5)x^'-1/sqrt(5)y^' ),( y= 1/sqrt(5)x^'+2/sqrt(5)y^'):} $
e applicandola abbiamo $17x^2+8y^2-12xy=100$ (nota bene, non uso $x^'$ e $y^'$, per comodità li rimpiazzo nuovamente con x e y...e lo farò anche in seguito)
Immagine
Ora trasliamo il tutto applicando $ { ( x=x^'-1),( y=y^'+1'):} $ e otteniamo $17x^2+8y^2-46x+28y-12xy=63$
Immagine

E' chiaro che si poteva applicare direttamente la trasformazione rotazione+traslazione $ { ( x=2/sqrt(5)x^'-1/sqrt(5)y^' -1),( y= 1/sqrt(5)x^'+2/sqrt(5)y^'+1):} $
Oppure costruire prima la trasformazione contraria, ovvero traslare prima il tutto nell'origine, trovare i due versori e costruire la rotazione di essi sui vettori della base canonica...e infine ricavare la trasformazione contraria (che puoi fare come esercizio).
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Re: Equazione di un ellisse ruotata

Messaggioda MilliXho » 08/06/2019, 22:23

Grazie mille, sei stato/a chiarissimo/a, però ho un dubbio, perché per trovare la matrice di rotazione servono due vettori? cioè se devo ruotare una figura di un angolo non dovrebbe servire solo un vettore? Nel mio caso $CV_1$?.
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Re: Equazione di un ellisse ruotata

Messaggioda Bokonon » 10/06/2019, 16:41

Ops, mi era sfuggita la replica.
Siamo in $R^2$ quindi una base ha dimensione 2 e tutti i vettori sono combinazioni lineare di questa base. Scelta la base (in questo caso quella canonica) dobbiamo trovare dove vanno a finire i vettori di questa base.

Ruotare (o altro) un vettore generico di $R^2$ significa quindi cambiarlo di base.
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