Benvenuto MilliXho
L'idea è corretta. Proviamo ad eseguirla in questa sequenza.
Abbiamo un centro e due vertici. Scegliamo che le distanze:
$ bar(CV_1)=2sqrt(5)=b$ e $ bar(CV_2)=sqrt(5)=a $
siano rispettivamente il semiasse maggiore e minore di una ellisse centrata nell'origine $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
Da cui ricaviamo l'equazione $4x^2+y^2=20$
Ora vogliamo ruotare questa ellisse in modo da portare la base canonica lungo le direzioni $vec(CV_1)$ e $vec(CV_2)$
Per la precisione costruiamo due versori (per non alterare le dimensioni dell'ellisse) e ci "ruotiamo sopra" la base canonica in questo ordine:
$e_1=(1,0) -> (V_2-C)/(||V_2-C||) =(2/sqrt(5),-1/sqrt(5))$
$e_2=(0,1) -> (V_1-C)/(||V_1-C||) =(1/sqrt(5),2/sqrt(5))$
E costruiamo la matrice di rotazione (una matrice ortonormale) $ R=1/sqrt(5)( ( 2 , 1 ),( -1 , 2 ) ) $ ovvero la rotazione che prende il generico vettore di $R^2$ e lo ruota $R( ( x ),( y ) ) =( ( x^' ),( y^' ) ) $
Da cui ricaviamo la nostra trasformazione $( ( x ),( y ) ) =R^(-1)( ( x^' ),( y^' ) )=R^T ( ( x^' ),( y^' ) )$
(perchè, essendo R una matrice ortornormale abbiamo che $R^(-1)=R^T$).
Scrivendola per esteso abbiamo che $ { ( x=2/sqrt(5)x^'-1/sqrt(5)y^' ),( y= 1/sqrt(5)x^'+2/sqrt(5)y^'):} $
e applicandola abbiamo $17x^2+8y^2-12xy=100$ (nota bene, non uso $x^'$ e $y^'$, per comodità li rimpiazzo nuovamente con x e y...e lo farò anche in seguito)
Ora trasliamo il tutto applicando $ { ( x=x^'-1),( y=y^'+1'):} $ e otteniamo $17x^2+8y^2-46x+28y-12xy=63$
E' chiaro che si poteva applicare direttamente la trasformazione rotazione+traslazione $ { ( x=2/sqrt(5)x^'-1/sqrt(5)y^' -1),( y= 1/sqrt(5)x^'+2/sqrt(5)y^'+1):} $
Oppure costruire prima la trasformazione contraria, ovvero traslare prima il tutto nell'origine, trovare i due versori e costruire la rotazione di essi sui vettori della base canonica...e infine ricavare la trasformazione contraria (che puoi fare come esercizio).