Funzioni Proprie

Buongiorno, premetto che non sono sicuro di trovarmi nella sezione corretta, ma ho affrontato le funzioni proprie durante il corso di Geometria Differenziale e ho visto che le domande che la riguardano vengono poste in questa sezione, quindi qui la pubblico.

L'esercizio che mi crea problemi recita: Dire se puo' esistere una funzione propria $f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2)$ tale che $f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0}$.

Ricordo che una funzione C-infinito e continua viene detta propria se la controimmagine di ogni compatto del codominio e' un insieme compatto del dominio.

Il mio primo ragionamento consiste nel dire che, per la non suriettivita` della funzione, allora se esistesse una funzione siffatta dovrebbe avere grado nullo.

Qualcuno potrebbe gentilmente fornirmi qualche spunto?

Credo che la sezione migliore sarebbe stata quella di geometria, ad ogni modo puoi prendere un diffeomorfismo tra $RR^2$ e un disco (aperto) non contenente l'origine.

puoi prendere un diffeomorfismo tra $ RR^2 $ e un disco (aperto) non contenente l'origine.

Posso chiederti gentilmente un esempio?

Scusa ma prima ero da telefono e avevo letto male, lascia perdere quello che ti ho detto. Ci penserò.
P.S. Ma lo sai vero che i cerchi sono diffeomorfi a $RR^2$?

Ma lo sai vero che i cerchi sono diffeomorfi a R2

So che in generale $mathbb(D)^n$ e` diffeomorfo a $mathbb(R)^n$. Ad esempio mediante $f(x)=x/sqrt(1-||x||^2)$.

Pero', a parte togliendo "manualmente" l'origine, come si puo' fare?

Dire se puo' esistere una funzione propria $ f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2) $ tale che $ f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0} $.

Dovresti dimostrarlo con questa proposizione:

Siano $ X, Y $ spazi metrici, $ f: X -> Y $ continua e propria. Allora $ f $ è anche chiusa .
(ovvero : $ f(C) \in Y $ è chiuso se $ C \in X $ è chiuso)

Dire se puo' esistere una funzione propria $ f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2) $ tale che $ f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0} $.

Dovresti dimostrarlo con questa proposizione:

Siano $ X, Y $ spazi metrici, $ f: X -> Y $ continua e propria. Allora $ f $ è anche chiusa .
(ovvero : $ f(C) \in Y $ è chiuso se $ C \in X $ è chiuso)

Giusto, posso dire che essendo $mathbb(R)^2$ chiuso in se stesso, f non può essere propria perché $f(mathbb(R)^2)=mathbb(R)^2\\{0}$ non è un chiuso in $mathbb(R)^2$. Insomma f propria implica f chiusa e dunque f non chiusa implica f non propria.

Può andare?

No perché il piano meno l'origine è chiuso IN SÉ STESSO.

No perché il piano meno l'origine è chiuso IN SÉ STESSO.

Però la funzione è definita da $mathbb(R)^2$ a $mathbb(R)^2$... cioè $f(mathbb(R)^2)$ è sottoinsieme proprio del condominio (ossia f non è suriettiva). Per questo ho affermato quanto detto sopra...

Se sbaglio a ragionare ti chiedo un aiuto o uno spunto di riflessione perché non sto capendo

Scusa hai ragione di nuovo, avevo letto male di nuovo. Allora funziona come dicevi, per scusarmi dall'averti confus* ti fornisco un'altra dimostrazione, più diretta: se una tale funzione $f$ esistesse in particolare sarebbe continua e $f^(-1)(\bar{B(0,1)})$ sarebbe compatto, e quindi anche $f(f^(-1)(\bar{B(0,1)}))=\bar{B(0,1)}\setminus{0}$ lo sarebbe, assurdo.