Le immagini dei vettori del nucleo non c’entrano niente sono sempre nulle.
Gli step sono i seguenti:
0. Hai una applicazione lineare $L:V->W$
1. Fissi una base $B_1={v_1,...,v_r}$ di $Ker(L)$
2. Completi la base di $Ker(L)$ ad una base di $V$ -> $B={underbrace(v_1,...,v_r)_(in Ker(L)),v_(r+1),...,v_n}$
3. Sai che l’immagine è generata da una qualsiasi base dello spazio di partenza e quindi
$L(V):=Im(L)=<<L(v_1),...,L(v_n)>>$
4. I vettori $v_1,...,v_r$ sono nel nucleo quindi $L(v_1),...,L(v_r)$ sono tutti il vettore nullo pertanto
$L(V)=<<L(v_1),...,L(v_n)>>=<<L(v_(r+1)),...,L(v_n)>>$
La dimensione del nucleo è $r$ per ipotesi e la dimensione di $L(V)$ è minore od uguale a $n-r$ quindi basta dimostrare che è esattamente uguale a $n-r$ per concludere e questo si ottiene se i vettori $L(v_(r+1)),...,L(v_n)$ sono linearmente indipendenti
5. Dimostri che i vettori sono linearmente indipendenti
Prendi una sequenza di scalari e imponi che sia $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=0$
Per la linearità di $L$ si ha $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=L(sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k)=0$
Questo essere uguale a $0$ ti dice che il vettore $sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k in Ker(L)$ e quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori che generano il nucleo ossia
$sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k=sum_(k=1)^(r)b_kv_k$
Essendo una equazione con soli vettori di una base gli scalari devono essere tutti nulli e in particolare gli $a_(r+1),...,a_n$ sono nulli pertanto otteniamo che al passo 5 ogni sequenza di scalari che accompagna una combinazione lineare degli $L(v_i)$ ci ritorna scalari nulli; pertanto sono linearmente indipendenti