Teorema di Hamilton-Cayley

Questo "sofisma algebrico" mi è piaciuto così tanto che ve lo ripropongo.
Consideriamo il teorema di Hamilton-Cayley
Enunciato:
Sia \( f \) un endomorfismo di uno spazio vettoriale \( V \), \( \dim V=n < \infty \), e sia \( p_f(\lambda) \) il polinomio caratteristico di \( f \), sia inoltre \( A \) la matrice dell'endomorfismo \( f \). Allora \( p_f(A)=0 \).

"Dimostrazione":
\( p_f(\lambda)=\det(A-\lambda I_n )\), dunque \( p_f(A)=\det(A-A\cdot I_n)=0 \)

Nonostante in apparenza sembri corretto il ragionamento qui sopra è fallace! Perché?

Perchè $p_f(A)=0$ ma con $0$ si intende una matrice nulla...mentre il determinante è uno scalare?

Esatto se \( R \) è un anello commutativo allora \( R^{n \times n } \ni 0= p_f(A)\), mentre \( \det(A-AI_n)=0 \in R \), non ha senso uguagliarli.

Eh si, questa è una cosa interessante. Qui c'è un'altra maniera di dimostrare che non si può semplicemente prendere \(\lambda=A\), pena l'incappare in contraddizioni grosse: https://math.stackexchange.com/a/1364515/8157