Dimostrazione

Messaggioda mobley » 09/06/2019, 10:25

Volevo chiedervi se la dimostrazione che segue è formalmente corretta.

Devo dimostrare che "Date due matrici quadrate $A,B\inM_N(RR)$, se $\lambda$ è autovalore di $A$ con autovettore $\bar(v)$ e se $\bar(v)\inKer[B]$, dimostrare che $\lambda^2$ è un autovalore di $(A+B)^2$.

Allora...
Supponiamo che esista una matrice invertibile $P$ tale che valga la proprietà $A=PBP^(-1)$. Siccome $\lambda$ è autovalore di A, allora $\exists \bar(v)\in RR^n,\bar(v)!= \bar(0):A\bar(v)=\lambda\bar(v)$, con $\bar(v)$ autovettore di A. Ne segue che $PBP^(-1)\bar(v)=\lambda \bar(v)$, e quindi $BP^(-1)\bar(v)=\lambda P^(-1)\bar(v)$. Ponendo $\bar(u)=P^(-1)\bar(v)$, si ha che $\bar(u)$ è autovettore di B corrispondente a $\lambda$ e quindi le equazioni agli autovalori di A e di B, rispettivamente $A\bar(v)=\lambda\bar(v)$ e $B\bar(u)=\lambda \bar(u)$ sono le stesse a meno di una cambio di variabili. In particolare gli autovalori sono gli stessi, quindi siccome $A\bar(v)=\lambda\bar(v)rArrA=\lambda$ e $B\bar(u)=\lambda\bar(u)rArrB=\lambda$, allora
$(A+B)^2=\lambda^2$


Che ne pensate?
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Re: Dimostrazione

Messaggioda gugo82 » 09/06/2019, 16:18

Perché $A$ dovrebbe essere simile a $B$?

Perché $(A+B)^2$ è uguale ad uno scalare?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Dimostrazione

Messaggioda mobley » 09/06/2019, 17:55

Grazie mille per gli input gugo! Mmm… Per quanto riguarda la prima domanda suppongo sia implicito dover assumere che le due matrici siano simili perché in questo modo, applicando Binet $det(PBP^(-1))=1/(det(P))det(P)det(B)=det(B)$, posso dire che le due matrici hanno stesso polinomio caratteristico e quindi stessi autovalori.
Per quanto riguarda la seconda domanda… Beh, in effetti non ha senso. E' che è ovvio (per quanto sopra) che se le matrici hanno gli stessi autovalori la somma del loro quadrato è il quadrato del loro autovalore, ma non riesco a formalizzarlo correttamente
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Re: Dimostrazione

Messaggioda Bokonon » 09/06/2019, 18:46

Conviene sempre prima provare la strada più semplice...la definizione :)
Ti dicono che $Av=lambdav$ e $Bv=0*v=0$
Proviamo a calcolare $(A+B)(A+B)v=?$ e vediamo cosa succede...

P.S. Nota bene che nessuno ti ha detto che le matrici siano diagonalizzabili.
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Re: Dimostrazione

Messaggioda mobley » 09/06/2019, 20:12

Bokonon ha scritto:Conviene sempre prima provare la strada più semplice...la definizione :)
Ti dicono che $Av=lambdav$ e $Bv=0*v=0$
Proviamo a calcolare $(A+B)(A+B)v=?$ e vediamo cosa succede...

P.S. Nota bene che nessuno ti ha detto che le matrici siano diagonalizzabili.

Ci provo.
Io so che $det(B)=det(I_N)=det(BB^(-1))=det(B)\cdot 1/(det(B))=1 !=0$, quindi $B$ è quadrata ed invertibile. Essendo invertibile posso quindi dire che $(A+B)(A+B)v=(A A+AB+BA+BB)v=(A^2+AB+AB+BB)v=(A^2+2AB+B^2)v=(A+B)^2v$. Tuttavia so anche che $(A A+AB+AB+BB)v=A Av+ABv+ABv+B Bv=A^2v+0+0+0=A^2v=\lambda^2v$. Uguagliando ottengo $(A+B)^2=\lambda^2v$, e semplificando la $v$ segue la tesi.
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Re: Dimostrazione

Messaggioda Bokonon » 09/06/2019, 20:19

mobley ha scritto:Tuttavia so anche che $(A A+AB+AB+BB)v=A Av+ABv+ABv+B Bv=A^2v+0+0+0=A^2v=\lambda^2v$. Uguagliando ottengo $(A+B)^2v=\lambda^2v$

Esatto (con una piccola correzione finale)

Non sai nulla sulle matrici A e B eccetto che B è singolare (quindi $det(B)=0$ ma è irrilevante) e le info date.
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Re: Dimostrazione

Messaggioda mobley » 10/06/2019, 10:04

Eh mannaggia, come esatto... Ormai ho scritto la dimostrazione che mi avevi detto era sbagliata :D
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Re: Dimostrazione

Messaggioda mobley » 10/06/2019, 10:06

mobley ha scritto:Eh mannaggia, come esatto... Ormai ho scritto la dimostrazione che mi avevi scritto ieri, dato che avevi detto che la mia (cioè questa) era sbagliata :D
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Re: Dimostrazione

Messaggioda Bokonon » 10/06/2019, 15:27

mobley ha scritto:Eh mannaggia, come esatto... Ormai ho scritto la dimostrazione che mi avevi detto era sbagliata :D

Sorry, mi ero fermato a leggere immediatamente dato che partivi dicendo che B era invertibile!
Solo dopo ho letto anche il resto.... :oops:

Anche tu però...l'esercizio afferma che B ha un kernel diverso dal vettore nullo e tu la inverti?!?

Resta sul semplice fai un prodotto per volta $(A+B)v=Av+Bv=lambdav$ e poi riapplichi.
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Re: Dimostrazione

Messaggioda mobley » 10/06/2019, 17:42

Bokonon ha scritto:
mobley ha scritto:Eh mannaggia, come esatto... Ormai ho scritto la dimostrazione che mi avevi detto era sbagliata :D

Sorry, mi ero fermato a leggere immediatamente dato che partivi dicendo che B era invertibile!
Solo dopo ho letto anche il resto.... :oops:

Anche tu però...l'esercizio afferma che B ha un kernel diverso dal vettore nullo e tu la inverti?!?

Resta sul semplice fai un prodotto per volta $(A+B)v=Av+Bv=lambdav$ e poi riapplichi.

Ma si Bokonon, vai tranquillo, anzi grazie mille davvero per la tua pazienza!
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