Dimostrazione
Inviato: 09/06/2019, 09:25
Volevo chiedervi se la dimostrazione che segue è formalmente corretta.
Devo dimostrare che "Date due matrici quadrate $A,B\inM_N(RR)$, se $\lambda$ è autovalore di $A$ con autovettore $\bar(v)$ e se $\bar(v)\inKer[B]$, dimostrare che $\lambda^2$ è un autovalore di $(A+B)^2$.
Allora...
Supponiamo che esista una matrice invertibile $P$ tale che valga la proprietà $A=PBP^(-1)$. Siccome $\lambda$ è autovalore di A, allora $\exists \bar(v)\in RR^n,\bar(v)!= \bar(0):A\bar(v)=\lambda\bar(v)$, con $\bar(v)$ autovettore di A. Ne segue che $PBP^(-1)\bar(v)=\lambda \bar(v)$, e quindi $BP^(-1)\bar(v)=\lambda P^(-1)\bar(v)$. Ponendo $\bar(u)=P^(-1)\bar(v)$, si ha che $\bar(u)$ è autovettore di B corrispondente a $\lambda$ e quindi le equazioni agli autovalori di A e di B, rispettivamente $A\bar(v)=\lambda\bar(v)$ e $B\bar(u)=\lambda \bar(u)$ sono le stesse a meno di una cambio di variabili. In particolare gli autovalori sono gli stessi, quindi siccome $A\bar(v)=\lambda\bar(v)rArrA=\lambda$ e $B\bar(u)=\lambda\bar(u)rArrB=\lambda$, allora
Che ne pensate?
Devo dimostrare che "Date due matrici quadrate $A,B\inM_N(RR)$, se $\lambda$ è autovalore di $A$ con autovettore $\bar(v)$ e se $\bar(v)\inKer[B]$, dimostrare che $\lambda^2$ è un autovalore di $(A+B)^2$.
Allora...
Supponiamo che esista una matrice invertibile $P$ tale che valga la proprietà $A=PBP^(-1)$. Siccome $\lambda$ è autovalore di A, allora $\exists \bar(v)\in RR^n,\bar(v)!= \bar(0):A\bar(v)=\lambda\bar(v)$, con $\bar(v)$ autovettore di A. Ne segue che $PBP^(-1)\bar(v)=\lambda \bar(v)$, e quindi $BP^(-1)\bar(v)=\lambda P^(-1)\bar(v)$. Ponendo $\bar(u)=P^(-1)\bar(v)$, si ha che $\bar(u)$ è autovettore di B corrispondente a $\lambda$ e quindi le equazioni agli autovalori di A e di B, rispettivamente $A\bar(v)=\lambda\bar(v)$ e $B\bar(u)=\lambda \bar(u)$ sono le stesse a meno di una cambio di variabili. In particolare gli autovalori sono gli stessi, quindi siccome $A\bar(v)=\lambda\bar(v)rArrA=\lambda$ e $B\bar(u)=\lambda\bar(u)rArrB=\lambda$, allora
$(A+B)^2=\lambda^2$
Che ne pensate?