Esercizio sugli endomorfismi

Messaggioda serepopsong » 09/06/2019, 11:19

Ciao a tutti,
ho un problema nel risolvere un esercizio, o meglio nel fare la prova della correttezza della soluzione...
Si tratta di un esercizio presente nel testo Elementi di algebra lineare e geometria della Abeasis, la cui risoluzione del calcolo di $B$ con il metodo "standard" è lasciato allo studente.

Riporto sotto il testo con i vari passaggi principali (ho omesso di riportare alcuni calcoli):

Testo
In $RR^4$ si consideri la base $v_1, v_2, v_3, v_4$ e i vettori $c_1, c_2, c_3, c_4$ e $T : RR^4 rarr RR^4$ con

$T(v_1)=c_1$ , $T(v_2)=c_2$ , $T(v_3)=c_3$ , $T(v_4)=c_4$

$v_1=((1),(-1),(0),(0))$ $v_2=((1),(1),(0),(0))$ $v_3=((0),(0),(0),(1))$ $v_4=((0),(1),(1),(0))$

$c_1=((1),(1),(0),(1))$ $c_2=((-1),(0),(1),(0))$ $c_3=((0),(1),(1),(1))$ $c_4=((1),(0),(0),(1))$

Scrivere quindi $A$ nella base ${v_i}$ e $B$ nella base ${e_i}$.

Svolgimento
$\{(v_1 = e_1 - e_2),(v_2 = e_1 + e_2),(v_3 = e_4),(v_4 = e_2 + e_3):}$

da cui, con alcuni passaggi (senza necessità di passare per la matrice):

$\{(e_1 = 1/2 v_1 + 1/2 v_2),(e_2 = -1/2 v_1 + 1/2 v_2),(e_3 = 1/2 v_1 - 1/2 v_2 + v_4),(e_4 = v_3):}$

Pertanto:
$T(v_1) = c_1 = e_1 + e_2 + e_4 = 1/2 v_1 + 1/2 v_2 - 1/2 v_1 + 1/2 v_2 + v_3 = v_2 + v_3$

$T(v_2) = c_2 = -e_1 + e_3 = -1/2 v_1 - 1/2 v_2 + 1/2 v_1-1/2 v_2 +v_4 = -v_2 + v_4$

$T(v_3) = c_3 = e_2 + e_3 + e_4 = -1/2 v_1 + 1/2 v_2 + 1/2 v_1 - 1/2 v_2 + v_4 + v_3 = v_3+ v_4$

$T(v_4) = c_4 =e_1 + e_4 = 1/2 v_1+ 1/2 v_2 + e_3$

Mettendo quindi i coefficienti come vettori colonna si ottiene la matrice $A$:

$A=((0,0,0,1/2),(1,-1,0,1/2),(1,0,1,1),(0,1,1,0))$

Per trovare la matrice $B$ (con riferimento alla formula $B=C^(-1)*A*C$) si scrive la trasformazione $T$ nella base canonica:
$T(e_1) = T( 1/2 v_1 + 1/2 v_2) = 1/2 T(v_1) + 1/2 T(v_2) = 1/2 c_1 + 1/2 c_2 =
=1/2 ((1),(1),(0),(1)) + 1/2 ((-1),(0),(1),(0)) =
=((1/2),(1/2),(0),(1/2)) + ((-1/2),(0),(1/2),(0)) = ((0),(1/2),(1/2),(1/2)) = 1/2 e_2 + 1/2 e_3 +1/2 e_4$

$T(e_2) = T( -1/2 v_1 + 1/2 v_2) = -1/2 T(v_1) + 1/2 T(v_2) = -1/2 c_1 + 1/2 c_2 =-1/2 ((1),(1),(0),(1)) + 1/2 ((-1),(0),(1),(0)) =
=((-1/2),(-1/2),(0),(-1/2)) + ((-1/2),(0),(1/2),(0)) = ((-1),(-1/2),(1/2),(-1/2)) = -e_1 -1/2 e_2 + e_3 - e_4$

$T(e_3) = T( 1/2 v_1 - 1/2 v_2 + v_4) = 1/2 T(v_1) - 1/2 T(v_2) +T(v_4) = 1/2 c_1 - 1/2 c_2 + c_4 =
=1/2 ((1),(1),(0),(1)) - 1/2 ((-1),(0),(1),(0)) +((1),(0),(0),(1)) = ((1/2),(1/2),(0),(1/2)) + ((1/2),(0),(-1/2),(0)) +((1),(0),(0),(1)) = ((2),(1/2),(-1/2),(3/2)) =2e_1+ 1/2 e_2 -1/2 e_3 +3/2 e_4$

$T(e_4) = T( v_3 ) = c_3= ((0),(1),(1),(1)) = e_2 +e_3 +e_4$

Mettendo i coefficienti colonna si ottiene la matrice $B$:

$B=((0,-1,2,0),(1/2,-1/2,1/2,1),(1/2,1,-1/2,1),(1/2,-1,3/2,1))$

Verifica
Dal sistema dove sono esplicati i vettori $e_i$ in funzione dei vettori $v_i$, si ottiene la matrice $C$:

$C=((1/2,-1/2,1/2,0),(1/2,1/2,-1/2,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$

Calcolo poi $C^(-1)$, che diventa:

$C^(-1)= ((1,1,0,2),(-1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,0))$

Passo quindi a calcolare $B=C^(-1)*A*C$:

$B=((1,1,0,2),(-1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,0))((0,0,0,1/2),(1,-1,0,1/2),(1,0,1,1),(0,1,1,0))((1/2,-1/2,1/2,0),(1/2,1/2,-1/2,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0))=((1,0,1,2),(1/2,-1/2,1/2,1),(1/2,1/2,-1/2,1),(1/2,-1/2,3/2,1))$

In questa maniera viene una matrice diversa da quella calcolata in precedenza.

Premesso che ho ricontrollato i conti e non mi sembra ci siano errori, qualcuno sa spiegarmi quale parte della risoluzione non va?
Grazie a chiunque mi aiuterà
serepopsong
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 12
Iscritto il: 18/03/2018, 18:06

Re: Esercizio sugli endomorfismi

Messaggioda Bokonon » 09/06/2019, 18:37

serepopsong ha scritto:$B=((0,-1,2,0),(1/2,-1/2,1/2,1),(1/2,1,-1/2,1),(1/2,-1,3/2,1))$

Un errore di calcolo
$B=((0,-1,2,0),(1/2,-1/2,1/2,1),(1/2,1/2,-1/2,1),(1/2,-1/2,3/2,1))$

Il resto tutto ok.
Avatar utente
Bokonon
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1377 di 1542
Iscritto il: 25/05/2018, 21:22

Re: Esercizio sugli endomorfismi

Messaggioda serepopsong » 09/06/2019, 19:57

Ok, ma a parte l'elemento $b_(3,2)$ tutta la prima riga della matrice è diversa totalmente e non riesco a capire perché...
serepopsong
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 9 di 12
Iscritto il: 18/03/2018, 18:06


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Majestic-12 [Bot] e 22 ospiti