Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda giulio0 » 09/06/2019, 16:24

Determinare una base e la dimensione per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ che risulta essere un sottospazio vettoriale.
S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + (−1, 1, 1, 1) | α, β ∈ R}
T = {(a, ab, b, c) ∈ R4| a, b, c ∈ R}
W = {(a, b, c, d) ∈ R4| a + b = c + d = 0}
U = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + γ(1, 1, 2, 1) ∈ R4| α, β ∈ R}

Salve mi piacerebbe avere un confronto con voi, quest'esercizio non so bene come affrontarlo.
Mi chiede di trovare le basi dei sistemi però a me sembra che S e U siano già scritte come basi, no?

mentre la base di T:

a(1, 1, 0, 0) + b(0, 1, 1, 0) + c(0, 0, 0, 1) giusto?

mentre per W trovo una soluzione:
$a = -b + c + d$ quindi la sua base

(-1, 1, 0, 0),(-1, 0, -1, 0), (-1, 0, 0, -1) corretto?

Ribadisco S e U non sono già basi?
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Re: Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda @melia » 09/06/2019, 18:41

Premetto che non ti so rispondere, vedo solo un errore nella base di T, il vettore così generato è $(a, a+b,b, c)$ e non quello della definizione di T.
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Re: Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda giulio0 » 09/06/2019, 19:15

ha ragione, così è giusto?
a(1, 1, 0, 0) * b(0, 1, 1, 0) * c(0, 0, 0, 1)
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Re: Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda giulio0 » 10/06/2019, 12:32

up
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Re: Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda Bokonon » 10/06/2019, 17:01

giulio0 ha scritto:Mi chiede di trovare le basi dei sistemi però a me sembra che S e U siano già scritte come basi, no?

Potrebbero esserlo ma procediamo con ordine.
Prima devi dimostrare che siano spazi vettoriali.
Cominciamo da S
$S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + (−1, 1, 1, 1) | α, β ∈ R}$
Lo leggo ad "alta voce".
S è lo spazio generato da tutte le combinazioni lineari di due vettori di $R^4$ + un vettore specifico.
La prima domanda che mi pongo è mmm, ma i due vettori formano una base?
E mi rispondo si, non sono combinazione lineare l'uno dell'altro quindi formano una base di un sottospazio vettoriale di dimensione 2, ovvero un piano che passa per l'orgine
E poi continuo il ragionamento e mi dico però S prende quel piano e ci somma un vettore, quindi potenzialmente lo trasla via dall'origine...ma solo se quel vettore non appartiene al piano generato dalla base, altrimenti non mi sposta nulla
E a questo punto vado a vedere se quel vettore è combinazione lineare della base:
a) se non lo è, allora il piano non passa per l'origine quindi S non è uno spazio vettoriale perchè non contiene l'elemento neutro alla somma.
b) se lo è, allora è uno spazio vettoriale e posso buttare via quel vettore e visto che ho già la base scrivo $S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1)}$
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Re: Esercizio determinare base e dimensione

Messaggioda giulio0 » 15/06/2019, 18:15

Grazie gentilissimo, senti mentre gli altri pensi che abbia dato una giusta risposta?
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