Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
09/06/2019, 15:24
Determinare una base e la dimensione per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ che risulta essere un sottospazio vettoriale.
S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + (−1, 1, 1, 1) | α, β ∈ R}
T = {(a, ab, b, c) ∈ R4| a, b, c ∈ R}
W = {(a, b, c, d) ∈ R4| a + b = c + d = 0}
U = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + γ(1, 1, 2, 1) ∈ R4| α, β ∈ R}
Salve mi piacerebbe avere un confronto con voi, quest'esercizio non so bene come affrontarlo.
Mi chiede di trovare le basi dei sistemi però a me sembra che S e U siano già scritte come basi, no?
mentre la base di T:
a(1, 1, 0, 0) + b(0, 1, 1, 0) + c(0, 0, 0, 1) giusto?
mentre per W trovo una soluzione:
$a = -b + c + d$ quindi la sua base
(-1, 1, 0, 0),(-1, 0, -1, 0), (-1, 0, 0, -1) corretto?
Ribadisco S e U non sono già basi?
09/06/2019, 17:41
Premetto che non ti so rispondere, vedo solo un errore nella base di T, il vettore così generato è $(a, a+b,b, c)$ e non quello della definizione di T.
09/06/2019, 18:15
ha ragione, così è giusto?
a(1, 1, 0, 0) * b(0, 1, 1, 0) * c(0, 0, 0, 1)
10/06/2019, 16:01
giulio0 ha scritto:Mi chiede di trovare le basi dei sistemi però a me sembra che S e U siano già scritte come basi, no?
Potrebbero esserlo ma procediamo con ordine.
Prima devi dimostrare che siano spazi vettoriali.
Cominciamo da S
$S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + (−1, 1, 1, 1) | α, β ∈ R}$
Lo leggo ad "alta voce".
S è lo spazio generato da tutte le combinazioni lineari di due vettori di $R^4$ + un vettore specifico.
La prima domanda che mi pongo è
mmm, ma i due vettori formano una base?E mi rispondo
si, non sono combinazione lineare l'uno dell'altro quindi formano una base di un sottospazio vettoriale di dimensione 2, ovvero un piano che passa per l'orgineE poi continuo il ragionamento e mi dico
però S prende quel piano e ci somma un vettore, quindi potenzialmente lo trasla via dall'origine...ma solo se quel vettore non appartiene al piano generato dalla base, altrimenti non mi sposta nullaE a questo punto vado a vedere se quel vettore è combinazione lineare della base:
a) se non lo è, allora il piano non passa per l'origine quindi S non è uno spazio vettoriale perchè non contiene l'elemento neutro alla somma.
b) se lo è, allora è uno spazio vettoriale e posso buttare via quel vettore e visto che ho già la base scrivo $S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1)}$
15/06/2019, 17:15
Grazie gentilissimo, senti mentre gli altri pensi che abbia dato una giusta risposta?