Funzionale lineare e operatore lineare

Non ho chiaro il motivo per cui il differenziale di una funzione è chiamato anche "operatore lineare".

Considero lo spazio vettoriale $R^2$ delle coppie di numeri reali definito sul campo $R$.
In $R^2$ il differenziale di una funzione in un punto $(x_0,y_0)$ è l'operatore : $df_x$: $R^2 -> R$ i cui valori sono dati da:
$df_x(h)$= $(delf)/(delx_0)*h_1$ $+$ $(delf)/(dely_0)*h_2$.
Quindi se ho capito bene, l'applicazione prende in input una coppia di numeri $(h_1,h_2)$ che appartiene allo spazio $R^2$ di partenza e li moltiplica per le derivate parziali calcolate in $(x_0,y_0)$ ottenendo uno scalare.

Se l'operatore lineare è definito come una applicazione lineare dallo spazio vettoriale in se quindi nel caso dell'esempio da $R^2->R^2$ il differenziale di una funzione dovrebbe essere un "funzionale lineare" che agisce da uno spazio $R^2$ sul suo campo $R$ e non un operatore.

Grazie a tutti

Il differenziale in un punto non è per forza un funzionale è semplicemente una applicazione lineare continua tra i due spazi vettoriali; è chiaro che se il codominio di $f$ è $RR$ allora l’applicazione lineare avrà come codominio $RR$ e sarà un funzionale continuo.

ok, grazie 1000