Equazione di un'iperbole

Messaggioda MilliXho » 10/06/2019, 19:20

Buonasera a tutti! Vi propongo questo esercizio riguardante un'iperbole.
Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per $P=(-3,1)$ e di fuochi $F_1=(0,-1)$, $F_2=(-1,2)$.

So che l'equazione canonica di un'iperbole passante per l'asse delle y è $x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1$.
Sapendo che $c^2=a^2+b^2$ e che $c$ rappresenta le coordinate dei fuochi posso imporre la seguente condizione su $a$ e $b$: $a^2+b^2 = 5/2$ dato che $c = (dist(F_1,F_2))/2 = sqrt(10)/2$. Mi servirebbe un'altra condizione su $a$ e $b$ per riuscire a ricavarmi l'equazione richiesta.
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Re: Equazione di un'iperbole

Messaggioda Bokonon » 10/06/2019, 22:40

Se fosse l'iperbole che pensi allora i fuochi avrebbero entrambi ascissa 0.

P.S. Una seconda condizione ce l'hai dal passaggio per il punto P.
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Re: Equazione di un'iperbole

Messaggioda MilliXho » 11/06/2019, 11:59

Io sto cercando di trovare l'equazione dell'iperbole in forma canonica, poi la traslo e la ruoto. Quindi le coordinate dei fuochi dell'iperbole in forma canonica saranno $(0,c/2) , (0,-c/2)$.
Però forse il mio ragionamento non è corretto.
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Re: Equazione di un'iperbole

Messaggioda Bokonon » 11/06/2019, 14:31

Ok, in questo caso sarebbero i punti $(0,c) , (0,-c)$
Io preferirei l'iperbole con i fuochi sull'asse delle X $(c,0) , (-c,0)$
Il problema è che non puoi sfruttare l'informazione sul punto P se non fai prima la traslazione + rotazione.
Trova prima il punto di mezzo fra i due fuochi: dovrà diventare la tua nuova origine, quindi lo sottrarrai da tutti i punti.
Poi trova la rotazione che porta il segmento traslato $F_1F_2$ sopra l'asse delle x...e applica la trasformazione anche a P traslato. A questo punto avrai le info necessarie per determinare $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
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