Rette invarianti per una proiettività

Messaggioda Reyzet » 11/06/2019, 12:47

Ciao, qualcuno ha idea di come si trovino le rette invarianti per la proiettività di $\mathbb{P}^3$ definita da questa matrice?
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 &0 & 0 & 0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0\
\end{pmatrix}

Ho trovato i punti uniti, ma per questo non capisco come procedere.
Credo c'entri il teorema di Cayley-Hamilton e il trovare gli autospazi di dimensione 2 ma ho difficoltà, qualcuno sa come si potrebbe fare?
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Re: Rette invarianti per una proiettività

Messaggioda Reyzet » 11/06/2019, 15:58

Forse ce l'ho, mi devo trovare i sottospazi invarianti di dimensione 2 per l'isomorfismo f associato, questi sono i due autospazi di dimensione 2 ($x-y=z-t=0$ e $x+y=z+t=0$) che sono rette proiettive fatte tutti di punti uniti, e poi gli altri due sottospazi possibili sono $x-y=z+t=0$ e $x+y=z-t=0$, che sono rette invarianti non fatte di punti uniti stavolta.
Credo ce ne siano altre però.
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Re: Rette invarianti per una proiettività

Messaggioda spugna » 11/06/2019, 17:58

Se $W$ è un piano invariante in $RR^4$, allora $f|_W$ è un endomorfismo, e i suoi autovalori sono alcuni degli autovalori di $f$: questi ultimi sono $1$ e $-1$, entrambi con molteplicità $2$, quindi ci sono tre possibilità per gli autovalori di $f|_W$:

- due $1$: questo implica che $W$ è contenuto nell'autospazio generalizzato di $f$ relativo all'autovalore $1$, ma poichè quest'ultimo ha dimensione $2$, c'è una sola possibilità, e facendo i conti viene la retta $x-y=z-t=0$;

- due $-1$: stesso ragionamento di prima, e viene la retta $x+y=z+t=0$.

- un $1$ e un $-1$: in questo caso scegliere $W$ equivale a scegliere due rette invarianti per $f$ (una per ciascun autovalore). Entrambe le rette vanno scelte all'interno di un piano, quindi anche se non ho fatto tutti i conti mi aspetterei di ottenere una famiglia di piani invarianti, e quindi di rette proiettive invarianti, con due gradi di libertà (due di queste rette sono le ultime due che hai scritto).
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: Rette invarianti per una proiettività

Messaggioda Reyzet » 11/06/2019, 18:59

Pensavo che congiungendo uno dei punti uniti delle due rette con un qualunque punto dell'altra retta fatta di punti uniti si ottengono altre rette invarianti e in effetti penso che vengano dei piani di rette invarianti (con infinito alla due possibilità di scelta del punto unito). Queste esauriscono tutte le rette invarianti?
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Re: Rette invarianti per una proiettività

Messaggioda spugna » 14/06/2019, 22:50

Reyzet ha scritto:Pensavo che congiungendo uno dei punti uniti delle due rette con un qualunque punto dell'altra retta fatta di punti uniti si ottengono altre rette invarianti e in effetti penso che vengano dei piani di rette invarianti (con infinito alla due possibilità di scelta del punto unito).


Quello che hai scritto qui e quello che ho scritto io nel terzo caso sono la stessa identica cosa: prendere una retta proiettiva per due punti uniti equivale a prendere un piano in $RR^4$ generato da due rette invarianti.

Reyzet ha scritto:Queste esauriscono tutte le rette invarianti?


In questo caso sì perche avevi una matrice diagonalizzabile in $RR$, altrimenti avresti dovuto cercarne delle altre. Più nel dettaglio, una matrice $(n+1) xx (n+1)$ che rappresenta una proiettività di $\mathbb{P}^n RR$ può avere:

- un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica e geometrica non coincidenti: in tal caso dovresti cercare dei piani invarianti nel sottospazio $\text{ker} (f - lambda I)^2 \subseteq RR^{n+1}$, che corrispondono a rette proiettive che contengono un unico punto unito;

- una coppia di autovalori non reali e coniugati: preso $v \in CC^{n+1}$ autovettore rispetto a uno di essi, il piano di $RR^{n+1}$ generato da $\text{Re}(v)$ e $\text{Im}(v)$ corrisponde a una retta proiettiva invariante ma priva di punti uniti (viceversa, tutte le rette invarianti di questo tipo dovrebbero essere ottenibili in questo modo, ma non ne sono certo...).
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