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Ciao, qualcuno ha idea di come si trovino le rette invarianti per la proiettività di $\mathbb{P}^3$ definita da questa matrice?
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 &0 & 0 & 0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0\
\end{pmatrix}

Ho trovato i punti uniti, ma per questo non capisco come procedere.
Credo c'entri il teorema di Cayley-Hamilton e il trovare gli autospazi di dimensione 2 ma ho difficoltà, qualcuno sa come si potrebbe fare?

Forse ce l'ho, mi devo trovare i sottospazi invarianti di dimensione 2 per l'isomorfismo f associato, questi sono i due autospazi di dimensione 2 ($x-y=z-t=0$ e $x+y=z+t=0$) che sono rette proiettive fatte tutti di punti uniti, e poi gli altri due sottospazi possibili sono $x-y=z+t=0$ e $x+y=z-t=0$, che sono rette invarianti non fatte di punti uniti stavolta.
Credo ce ne siano altre però.

Se $W$ è un piano invariante in $RR^4$, allora $f|_W$ è un endomorfismo, e i suoi autovalori sono alcuni degli autovalori di $f$: questi ultimi sono $1$ e $-1$, entrambi con molteplicità $2$, quindi ci sono tre possibilità per gli autovalori di $f|_W$:

- due $1$: questo implica che $W$ è contenuto nell'autospazio generalizzato di $f$ relativo all'autovalore $1$, ma poichè quest'ultimo ha dimensione $2$, c'è una sola possibilità, e facendo i conti viene la retta $x-y=z-t=0$;

- due $-1$: stesso ragionamento di prima, e viene la retta $x+y=z+t=0$.

- un $1$ e un $-1$: in questo caso scegliere $W$ equivale a scegliere due rette invarianti per $f$ (una per ciascun autovalore). Entrambe le rette vanno scelte all'interno di un piano, quindi anche se non ho fatto tutti i conti mi aspetterei di ottenere una famiglia di piani invarianti, e quindi di rette proiettive invarianti, con due gradi di libertà (due di queste rette sono le ultime due che hai scritto).

Pensavo che congiungendo uno dei punti uniti delle due rette con un qualunque punto dell'altra retta fatta di punti uniti si ottengono altre rette invarianti e in effetti penso che vengano dei piani di rette invarianti (con infinito alla due possibilità di scelta del punto unito). Queste esauriscono tutte le rette invarianti?

Reyzet ha scritto:Pensavo che congiungendo uno dei punti uniti delle due rette con un qualunque punto dell'altra retta fatta di punti uniti si ottengono altre rette invarianti e in effetti penso che vengano dei piani di rette invarianti (con infinito alla due possibilità di scelta del punto unito).

Quello che hai scritto qui e quello che ho scritto io nel terzo caso sono la stessa identica cosa: prendere una retta proiettiva per due punti uniti equivale a prendere un piano in $RR^4$ generato da due rette invarianti.

Reyzet ha scritto:Queste esauriscono tutte le rette invarianti?

In questo caso sì perche avevi una matrice diagonalizzabile in $RR$, altrimenti avresti dovuto cercarne delle altre. Più nel dettaglio, una matrice $(n+1) xx (n+1)$ che rappresenta una proiettività di $\mathbb{P}^n RR$ può avere:

- un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica e geometrica non coincidenti: in tal caso dovresti cercare dei piani invarianti nel sottospazio $\text{ker} (f - lambda I)^2 \subseteq RR^{n+1}$, che corrispondono a rette proiettive che contengono un unico punto unito;

- una coppia di autovalori non reali e coniugati: preso $v \in CC^{n+1}$ autovettore rispetto a uno di essi, il piano di $RR^{n+1}$ generato da $\text{Re}(v)$ e $\text{Im}(v)$ corrisponde a una retta proiettiva invariante ma priva di punti uniti (viceversa, tutte le rette invarianti di questo tipo dovrebbero essere ottenibili in questo modo, ma non ne sono certo...).