Correttezza dell'esercizo (Spazio Vettoriale)

Messaggioda afk99 » 11/06/2019, 13:58

Salve a tutti scusatami sono ancora io vorrei solo sapere se il ragionamento che faccio per questo esercizio è corretto

Sia Dato l'endoformismo $ f:R^3->R^3 $ definito dalla seguente legge rispetto alla base canonica di $ R^3 $ :
$ f(x,y,z)=(x+y+2z,-y,(k+1)z) $

Posto $ k=0 $ , stabilire se $ f $ è diagonalizzabile.

Svolgimento:

Prima di tutto mi calcolo la Matrice associata alla Base Canonica di $ R^3 $ la quale risulta:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , k+1 ) | $

Pongo $ k=0 $ e risulta:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $


Giunti a questo punto mi Calcolo il Polinomio caratteristico secondo $ P_{a}x=det(Mf^{E_{3}E_{3}}-xI) $ e procedo con il determinate, quindi:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $ $ *I| ( -t , 0 , 0 ),( 0 , -t , 0 ),( 0 , 0 , -t ) | $

La quale diventa:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1-t , 1 , 2 ),( 0 , -1-t , 0 ),( 0 , 0 , 1-t ) | $

E il determinante calcolato con Cramer é:
$ (1-t)^2(-1-t)=0 $

ne risulta quindi che $ t=1 $ ha molteplicita algebrica uguale a 2 quindi $ m=2 $
e che $ t=-1 $ ha molteplicità algebrica uguale a 1 quindi $ m=1 $

Sostituendo i rispettivi valori ti $ t $ viene fuori:

Per $ t=1 $
$ Mf=| ( 0 , 1 , 2 ),( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | $

Quindi il rango è uguale a 2 il definitiva:
$ r(Mf)=2->Imf=2->m_{g}=2 $ dove $ m_{g}=2 $ indica la molteplicità geometrica

visto che la molteplicità geometrica e algebrica sono uguali per $ t=1 $ può andare

Ma per $ t=-1 $

Si ha:
$ Mf=| ( 2 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) | $

Quindi
$ r(Mf)=2->Imf=2->m_{g}=2 $

In definitiva la funzione f non è diagonalizzabile in quanto pet $ t=-1 $ molteplicità algebrica e geometrica non sono uguali


La mia domanda è: é giusto il mio ragionamento o sto sbagliando tutto ?
afk99
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Re: Correttezza dell'esercizo (Spazio Vettoriale)

Messaggioda Bokonon » 11/06/2019, 18:55

afk99 ha scritto:La mia domanda è: é giusto il mio ragionamento o sto sbagliando tutto ?

La seconda che hai detto :-D
Hai trovato:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $
Non c'era nemmeno bisogno di fare conti. E' una matrice triangolare, quindi il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale. In pratica hai gli autovalori in bella mostra. Per l'autovalore -1 non c'è problema, si trova SEMPRE un autovettore associato (per teorema).
Ma abbiamo una radice coincidente per t=1 quindi dobbiamo vedere se possiamo estrarre due autovettori dal kernel di $A-I$
E qui ti sei perso. E' la dimensione del kernel delle matrici che conta, non il rango.
O meglio, hai scoperto che entrambe hanno rango 2 quindi il kernel di entrambe ha dimensione 1. Ripeto, per $t=-1$ non c'è problema, infatti ricaviamo un autovettore.
Ma per $t=1$ invece ne ricaviamo solo 1 quando invece ce ne servono tanti quanti sono le radici coincidenti, ovvero 2.
Quindi la matrice non è diagonalizzabile.

Stai invertendo il ragionamento...è il kernel che conta.
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