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Mi aiutate a risolvere questo esercizio



Ad esempio il primo è un sottospazio vettoriale perché conserva somma è prodotto ma come calcolo la dimensione e la base?
Grazie in anticipo

Il primo non è un sottospazio vettoriale; il termine $ab$ non mi sembra così tanto "lineare"

anto_zoolander ha scritto:Il primo non è un sottospazio vettoriale; il termine $ab$ non mi sembra così tanto "lineare"

È la somma che non è contenuta giusto?
E per gli altri come determino la base è la dimensione?

prima di tutto; sono spazi vettoriali?

anto_zoolander ha scritto:prima di tutto; sono spazi vettoriali?

Il secondo è un sottospazio vettoriale la dimensione e tre giusto? ma la base come la trovo?

ok e questo è vero

il generico vettore è $a+bx+(2a+b)x^2=a(1+2x^2)+b(x+x^2)$

da questa scrittura deduci che i vettori $1+2x^2$ e $x+x^2$ sono due generatori dello spazio visto che ogni vettore si scrive come loro combinazione lineare; sono linearmente indipendenti?

anto_zoolander ha scritto:ok e questo è vero

il generico vettore è $a+bx+(2a+b)x^2=a(1+2x^2)+b(x+x^2)$

da questa scrittura deduci che i vettori $1+2x^2$ e $x+x^2$ sono due generatori dello spazio visto che ogni vettore si scrive come loro combinazione lineare; sono linearmente indipendenti?

Si sono linearmente indipendenti ....l’ultimo Non è sottospazio vettoriale perché non è incluso il vettore nullo?
Ma poi del secondo non capisco una cosa la dimensione e tre anche se abbiamo lo spazio dei i polinomi di grado minore o uguale a due ?

Esatte entrambe le prime due cose.

Per quanto riguarda l'ultima affermazione; lo spazio $Y$ ha dimensione $2$.

anto_zoolander ha scritto:Esatte entrambe le prime due cose.

Per quanto riguarda l'ultima affermazione; lo spazio $Y$ ha dimensione $2$.

Quindi formano una base i due generatori?
Ah ecco....grazi mille per l’aiuto ☺️

si in generale una base è composta sempre dallo stesso numero di vettori che individua appunto la dimensione dello spazio. Quindi ti basta trovare due qualsiasi generatori linearmente indipendenti per ottenere una base.