Matematicamente.it

Ciao a tutti,
Non riesco a capire perché la traslazione viene definita in questo modo



Se io sommo le componenti, v1 e t1 per esempio, ottengo un nuovo vettore somma e non quello traslato. Dove sto sbagliando?

Una traslazione è un'affinità (perché una traslazione non è lineare, giusto?), e quindi appartiene al gruppo delle affinità di uno spazio affine \(\mathbb{A}(V)\); quello che questo risultato sta sottointendendo è che esiste un omomorfismo di gruppi \(V \to \textsf{Aff}(V)\) che manda $v$ nella trasformazione che trasla un punto di \(\mathbb{A}(V)\) lungo il vettore $v$, ovvero che manda $P$ in $P+v$, e analogamente un vettore \(PQ = \overline{Q-P}\) nel vettore traslato di $v$, $PQ+v$.

Se rappresenti lo spazio affine come lo spazio vettoriale sottostante "che ha un'origine libera di vagare", le operazioni di somma in $V$ e di traslazione in \(\mathbb{A}(V)\) vengono grosso modo identificate: questo, però, non è un abuso di notazione pericoloso perché le due operazioni sono coerenti.

Ciò significa che fissata un'origine $o$ di un riferimento affine \(\mathfrak Y\), esiste un isomorfismo \(V\cong \mathbb{A}(V)_{\mathfrak Y}\) che rende compatibili da un lato la rappresentazione di $V$ nel gruppo dei suoi automorfismi, cioè la mappa che manda $w$ in $v+w$, e dall'altro lato la mappa che manda l'unica coppia di punti $P,Q$ tali che \(Q-P\in \mathbb{A}(V)_{\mathfrak Y}\) corrisponda a $w\in V$ nella coppia di punti $P'=P+v, Q'=Q+v$ tali che $P'Q'$ in \(\mathbb{A}(V)\) corrisponde a $v+w$.