Base è dimensione

Messaggioda sara09 » 17/06/2019, 11:28

Buongiorno mi aiutateee

Immagine

La prima è un sottospazio vettoriale perché contiene il vettore nullo se b=0 ma come ricavo dimensione e base?
La seconda non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo
La terza e spazio vettoriale e l’ho trasformato in matrice e ho considerato le righe con i pivot.
Giusto?
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Re: Base è dimensione

Messaggioda giovx24 » 17/06/2019, 11:53

per vedere se sono dei sottospazi vettoriali devi controllare se sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto, il fatto che contengono il vettore nullo non è abbastanza, tra l'altro il secondo contiene il vettore nullo
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Re: Base è dimensione

Messaggioda sara09 » 17/06/2019, 13:03

giovx24 ha scritto:per vedere se sono dei sottospazi vettoriali devi controllare se sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto, il fatto che contengono il vettore nullo non è abbastanza, tra l'altro il secondo contiene il vettore nullo

Si però la traccia dice senza dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto
Ma nel secondo non abbiamo (0,0,0)...L avanti rappresenta tipo la soluzione
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Re: Base è dimensione

Messaggioda Bokonon » 17/06/2019, 15:00

@sara09
L'esercizio (punti 2 e 3) propone due insiemi di generatori usando due tipi di scritture equivalenti (le parentesi graffe o L(etc etc) ).
Non c'è bisogno di dimostrare che sono spazi vettoriali perchè per definizione uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di generatori. Usare la definizione per mostrare l'ovvio è abbastanza ridondante, per questo motivo ti chiedono di saltare questo passaggio. Ripeto, ti hanno dato degli insiemi di generatori, non insiemi definiti in modo particolare per cui sia effettivamente necessario andare a vedere se sono spazi vettoriali.

Tutto ciò che chiedono quindi è di prendere quegli insiemi di generatori e trovarne una base. La numerosità dei vettori della base ci darà la dimensione dello spazio vettoriale.

Tu invece da un lato scrivi che la traccia non ti richiede di dimostrare nulla e dall'altro vai a "vedere" se include il vettore nullo. Non solo non è richiesto ma il vettore nullo non fa mai parte di nessuna base.
Prendi il terzo esempio. Il vettore nullo puoi buttarlo: caccialo via. I due rimanenti sono uno comb. lineare dell'altro, quindi ne teniamo solo uno, diciamo ${(1,1)}$. Ci resta una base composta da un solo vettore, quindi lo spazio vettoriale ha dimensione 1.
E' una retta di $R^2$ che passa per l'origine, quindi contiene l'elemento neutro alla somma. E come si ottiene? $0*(1,1)=(0,0)$. E' sempre la combinazione lineare di tutti i vettori di una base moltiplicati per lo scalare zero.
Il vettore nullo è anch'esso combinazione lineare della base.
Mi stupisco che non ti sia ancora chiaro questo concetto: hai mai visto definire la base canonica con ${(1,0), (0,1), (0,0)}$ ?
Ultima modifica di Bokonon il 17/06/2019, 16:37, modificato 2 volte in totale.
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Re: Base è dimensione

Messaggioda axpgn » 17/06/2019, 15:18

Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO
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Re: Base è dimensione

Messaggioda Bokonon » 17/06/2019, 16:34

axpgn ha scritto:Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO


Gli esercizi 2 e 3 sono sistemi di generatori quindi spazi vettoriali. E' la risposta.
Non viene sottointeso...viene proprio detto chiaramente che sono generatori.
Quella è la scrittura per dire "lo span di questi vettori".
Una base è sempre un insieme di generatori; al contrario, un insieme di generatori non è necessariamente una base.
E questa è la seconda parte dell'esercizio, ovvero trovare la base.

Mentre per il primo esercizio è diverso perchè il sottospazio non è stato definito direttamente da un sistema di generatori. In questo caso occorre constatare che è effettivamente un polinomio che appartiene allo spazio indicato e che per $b=0$ abbiamo l'elemento neutro (come giustamente ha fatto sara). Gli spazi polinomiali sono più ingannevoli.
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Re: Base è dimensione

Messaggioda giovx24 » 17/06/2019, 16:57

axpgn ha scritto:Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO


a quanto pare le graffe stanno per span :|
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Re: Base è dimensione

Messaggioda Bokonon » 17/06/2019, 17:02

giovx24 ha scritto:a quanto pare le graffe stanno per span :|

Però avevo letto cosa avevi scritto...che non è uno spazio vettoriale :wink:

Sono tutte scritture equivalenti:
W_3={(1,1), (0,0), (-1,-1)}
W_3=Span( (1,1), (0,0), (-1,-1) )
W_3=L((1,1), (0,0), (-1,-1))

La prima è la più comune in Italia, la seconda nei paesi anglosassoni. La terza è la versione italiana della seconda.
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Re: Base è dimensione

Messaggioda giovx24 » 17/06/2019, 17:08

Bokonon ha scritto:
giovx24 ha scritto:a quanto pare le graffe stanno per span :|

Però avevo letto cosa avevi scritto...che non è uno spazio vettoriale :wink:

Sono tutte scritture equivalenti:
W_3={(1,1), (0,0), (-1,-1)}
W_3=Span( (1,1), (0,0), (-1,-1) )
W_3=L((1,1), (0,0), (-1,-1))

La prima è la più comune in Italia, la seconda nei paesi anglosassoni. La terza è la versione italiana della seconda.


:P

però mi sembra un po' esagerato che il libro utilizzi due notazioni diverse per indicare la stessa cosa
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Re: Base è dimensione

Messaggioda axpgn » 17/06/2019, 17:16

Bokonon ha scritto:viene proprio detto chiaramente che sono generatori.

Sara chiaro a te ma io non lo vedo proprio …
Il testo chiede espressamente "quale dei seguenti sottoinsiemi è un sottospazio" e non credo che avrebbe senso chiederlo se quelli fossero "sistemi di generatori …
In secondo luogo, per me le graffe sono i simboli che rappresentano un insieme non uno span ; non so come si rappresenti in italiano perché mi sono abituato a letture in inglese dove lo span è rappresentato così $< … >$ oppure direttamente con la parola "span" … IMHO

Cordialmente, Alex
axpgn
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