Algebra lineare: scrivere il polinomio (1+x)^3 e la sua derivata 3(1+x)^2 come combinazione lineare dei polinomi 1,x, x^

Messaggioda Fabitoci » 17/06/2019, 15:26

Ciao ragazzi, voi come rispondereste a questo quesito? "scrivere il polinomio (1+x)^3 e la sua derivata 3(1+x)^2 come combinazione lineare dei polinomi 1,x, x^2 e x^3".
Fabitoci
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Re: Algebra lineare: scrivere il polinomio (1+x)^3 e la sua derivata 3(1+x)^2 come combinazione lineare dei polinomi 1,x, x^

Messaggioda 3m0o » 18/06/2019, 14:56

Cos'è una combinazione lineare?
Dati \( n \) vettori \( v_1, \ldots, v_n \) di uno spazio vettoriali \( V \) e \(n \) scalari \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) in un campo. Una combinazione lineare è un espressione del tipo \( \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n \).
Se hai il vettore di \( \mathbb{R}^4 \), \(v= (1,3,3,1) \) e la base canonica \( B=\{ e_1=(1,0,0,0); e_2=(0,1,0,0); e_3=(0,0,1,0); e_4=(0,0,0,1) \} \) di \( \mathbb{R}^4 \). Per scrivere \( v \) come combinazione lineare di \( e_1,e_2,e_3,e_4 \) cosa fai?
Nel tuo problema invece di avere \( \mathbb{R}^4 \) hai lo spazio dei polinomi di grado inferiore o uguale a 3, sovente si indica con \( \mathbb{R}_3[x] \). La base canonica è \( \{ 1,x,x^2,x^3 \} \). I tuoi vettori sono dunque elementi di \( \mathbb{R}_3[x] \) e sono pertanto dei polinomi.
3m0o
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