Esercizio, completamento ad una base

Messaggioda giulio0 » 18/06/2019, 16:53

Quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ sono linearmente indipendenti e perché? Completare i sottoinsiemi
linearmente indipendenti in una base di $R^4$

$X = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R^4: x^2_1 + x^2_2 = 0}$

Ciao ragazzi vorrei avere un confronto con voi per capire se ho svolto l'esercizio nel giusto modo:

trovo il una base di X sapendo che $x^2_1 = -x^2_2$

$(-x_2, x_2,x_3, x_4) => B ={x_2(-1,1,0,0),x_3(0,0,1,0),x_4(0,0,0,1)}$

la base è:

$<(-1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)>$

ed è completata ad $R^4$ aggiungendo il vettore della base canonica (0,1,0,0)?
giulio0
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Re: Esercizio, completamento ad una base

Messaggioda vict85 » 18/06/2019, 17:28

Consideriamo l'insieme \(X = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4: x^2_1 + x^2_2 = 0\}\). Siccome, in \(\mathbb{R}\), i quadrati sono non negativi, la condizione \(x^2_1 + x^2_2 = 0\) è equivalente a richiedere che siano entrambi \(0\), Quindi la condizione è lineare e \(X\) è un sottospazio di co-dimensione \(2\). I sottospazi sono sottoinsiemi linearmente indipendenti?
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Re: Esercizio, completamento ad una base

Messaggioda giulio0 » 18/06/2019, 18:36

dato che $x_1$ e $x_2$ sono uguali a 0, direi che i sottospazi sono linearmente indipendenti (?)
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