Complemento ortogonale e base di autovettori
Inviato: 19/06/2019, 10:29
Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo reale dotato del prodotto scalare standard, e sia $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ una sua base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$. Determinare una base ortonormale del complemento ortogonale $S^{\perp}$. Sicuramente ha dimensione 2 questo complemento ortogonale. Inoltre so per certo che un vettore ortonormale della sua base è $b_3$. Mi manca di trovarne un altro che sia un versore e ortogonale a $b_3$ e non riesco a venirne a capo.
C'è una seconda domanda. Sia $F:V\mapsto V$ un endomorfismo simmetrico tale che $ker(F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$. Prima di tutto gli autovalori sono le soluzioni di $\lambda^2-2\lambda=0$ e quindi $\lambda=0,2$ (già qui non ho capito perché si possa fare questa operazione e se me lo potete spiegare sarebbe bello). Poi non riesco ad andare avanti perché lavoro con vettori generici. Cosa faccio per risolvere questi due esercizi?
C'è una seconda domanda. Sia $F:V\mapsto V$ un endomorfismo simmetrico tale che $ker(F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$. Prima di tutto gli autovalori sono le soluzioni di $\lambda^2-2\lambda=0$ e quindi $\lambda=0,2$ (già qui non ho capito perché si possa fare questa operazione e se me lo potete spiegare sarebbe bello). Poi non riesco ad andare avanti perché lavoro con vettori generici. Cosa faccio per risolvere questi due esercizi?