Esercizio, piano parallelo ad una retta

[giulio0]

Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si determini un piano parallelo
alla retta $ r:{ ( 2x − 2y + z = 1 ),( x − y − z = −1 ):} $

Salve vorrei capire se ho fatto bene l'esercizio, ho preso spunto dal mio libro:

Riscrivo la retta in forma parametrica

$:{(x = t), (y = 1/3t),(z = -4/3t +1):}$

Il vettore direttore della retta data è $ (1, 1/3, -4/3) $ sostituisco i valori nell'equazione $ al + bm + cn = 0 $ e trovo che il piano ha equazione:

$pi: a + 1/3b - 4/3c = 0$

[giovx24]

direi di no, che procedimento hai utilizzato per calcolare l'equazione in forma parametrica?

in ogni caso credo che basti traslare i piani che formano la retta per ottenere dei piani paralleli

[giulio0]

Pongo x = t

$ { ( x= t ),( 2y = -2t -z +1 ),( z = -t+y-1 ):} $

poi sostituisco la z in y e trovo:

$ { ( x= t ),( y = t -2 ),( z = -3 ):} $ ho rifatto i conti.

potresti spiegarti meglio riguardo al traslare i piani, non sono molto ferrato sull'argomento

[giovx24]

Pongo x = t

$ { ( x= t ),( 2y = -2t -z +1 ),( z = -t+y-1 ):} $

poi sostituisco la z in y e trovo:

$ { ( x= t ),( y = t -2 ),( z = -3 ):} $ ho rifatto i conti.

potresti spiegarti meglio riguardo al traslare i piani, non sono molto ferrato sull'argomento

allora
partiamo dal presupposto che il procedimento che stai cercando di applicare è errato.

consideriamo un generico piano
$ pi: ax + by + cz + d = 0$
il vettore $(a,b,c)$ è ortogonale a tale piano.

consideriamo ora una generica retta
$ s: { ( x= l t + x_0),( y = mt + y_0 ),( z = nt +z_0 ):}$
il vettore $(l,m,n)$ indica la direzione della retta

quindi segue che i piani
$lx + my + nz + d = 0$
non sono paralleli ma ortogonali alla retta $s$

inoltre i calcoli che hai svolto per calcolare la retta in forma parametrica continuano a essere errati

[giulio0]

allora i parametri direttori della retta sono (1,3,0). Se provassi a trovare una retta perpendicolare alla retta data e trovare un punto della retta per trovarmi il piano perpendicolare alla seconda retta quindi parallelo alla prima?

[giovx24]

allora i parametri direttori della retta sono (1,3,0). Se provassi a trovare una retta perpendicolare alla retta data e trovare un punto della retta per trovarmi il piano perpendicolare alla seconda retta quindi parallelo alla prima?

i parametri direttori della retta non sono $(1,3,0)$

il ragionamento è corretto ma ti faccio notare che i piani

$2x−2y+z=1$
$x−y−z=−1$

sono già perpendicolari alla seconda retta di cui parli

[@melia]

La retta sta sul piano $2x − 2y + z = 1$, quindi è parallela a quel piano e a tutti i piani del tipo $2x − 2y + z = k$.
Lo stesso vale per il piano $ x − y − z = −1 $ per cui la retta risulta essere parallela a tutti i piani del fascio di piani paralleli $ x − y − z = h $