da anto_zoolander » 19/06/2019, 15:28
Ed è esatto sono proprio quei due gli insiemi però va dimostrato
quando si dice "il più piccolo chiuso contente $X$" si intende l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $X$.
se per ogni chiuso $C$ contente $[2,7[$ si ottiene che $[2,7]subsetC$ allora significa che è contenuto anche nell'intersezione di tutti i chiusi ed essendo un chiuso vi deve coincidere.
di fatto se $C$ è un chiuso contente $[2,7[$ e $7 notin C$ allora sarebbe $7 in XsetminusC$ che però è un aperto e quindi esisterebbe almeno un $r>0$ per cui $I:=(r-7,r+7) subsetXsetminusC$ e qui si otterrebbe un assurdo considerando che $Icap[2,7[$ sarebbe contenuto sia in $C$ che nel suo complementare
quindi ogni chiuso contente $[2,7[$ deve contenere anche $[2,7]$ quindi è contenuto nell'intersezione di tutti i chiusi; pertanto risulta essere la sua chiusura.
Il discorso con l'interno è analogo e questi esercizi sono parecchio istruttivi per capire come "lavora" una topologia quindi prova ad abbozzare una soluzione per l'interno.
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