Problema su applicazione lineare

[pandr]

Salve ragazzi, ho un problema su questo esercizio, ho un’applicazione lineare definita in questo modo:
T(x,y,z) = (x+y,2x-y,y,x+z). Ho trovato il sottospazio vettoriale delle immagini che è il seguente: (correggetemi se sbaglio) <(1,2,0,1),(1,-1,1,0),(0,0,0,1)>. Adesso devo scrivere un sistema omogeneo lineare che abbia quelle soluzioni. Come faccio?

[gugo82]

Non capisco cosa devi fare…

[pandr]

Ho la suddetta funzione e l’esercizio precisamente dice:
- Determinare il sottospazio vettoriale Im(T) e un sistema lineare omogeneo di cui esso è l’insieme delle soluzioni.

[gugo82]

L’immagine è il sottospazio di $RR^4$ generato dalle colonne della matrice associata a $T$, quindi:
\[
\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span} \{(1,2,0,1), (1,-1,1,0), (0,0,0,1) \}
\]
come hai già giustamente trovato; il sistema di generatori è minimale, perché la matrice associata ad $T$:
\[
T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}
\]
ha rango $3$, dunque $dim text(Im)(T) = 3$.

Visto che $text(codim )text(Im) T = dim (text(Im) T)^\bot = 4 - 3 = 1$, esiste almeno un vettore $(a,b,c,d)$ che genera il sottospazio ortogonale a $ text(Im) (T)$: un tale vettore $(a,b,c,d)$ è ortogonale ad ognuno dei generatori di $text(Im) (T)$, dunque per trovarlo ti basta risolvere il sistema $\{ (a + 2b + d = 0), (a - b + c = 0), (d = 0):}$ da cui ottieni il generatore generico $(-2 b, b, 3 b, 0)$ di $(text(Im) T)^\bot$ e, fissando $b=1$, il generatore $(-2, 1, 3, 0)$.

Ne consegue che ogni $(x,y,z,t) in text(Im)(T)$ soddisfa la condizione di ortogonalità $-2x + y + 3 z = 0$ e, viceversa, ogni vettore che soddisfa $-2x + y + 3 z = 0$ appartiene ad $text(Im)(T)$.
Visto che l’equazione $-2x + y + 3 z = 0$ la puoi interpretare come sistema, hai fatto.

[pandr]

L’immagine è il sottospazio di $RR^4$ generato dalle colonne della matrice associata a $T$, quindi:
\[
\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span} \{(1,2,0,1), (1,-1,1,0), (0,0,0,1) \}
\]
come hai già giustamente trovato; il sistema di generatori è minimale, perché la matrice associata ad $T$:
\[
T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}
\]
ha rango $3$, dunque $dim text(Im)(T) = 3$.

Visto che $text(codim )text(Im) T = dim (text(Im) T)^\bot = 4 - 3 = 1$, esiste almeno un vettore $(a,b,c,d)$ che genera il sottospazio ortogonale a $ text(Im) (T)$: un tale vettore $(a,b,c,d)$ è ortogonale ad ognuno dei generatori di $text(Im) (T)$, dunque per trovarlo ti basta risolvere il sistema $\{ (a + 2b + d = 0), (a - b + c = 0), (d = 0):}$ da cui ottieni il generatore generico $(-2 b, b, 3 b, 0)$ di $(text(Im) T)^\bot$ e, fissando $b=1$, il generatore $(-2, 1, 3, 0)$.

Ne consegue che ogni $(x,y,z,t) in text(Im)(T)$ soddisfa la condizione di ortogonalità $-2x + y + 3 z = 0$ e, viceversa, ogni vettore che soddisfa $-2x + y + 3 z = 0$ appartiene ad $text(Im)(T)$.
Visto che l’equazione $-2x + y + 3 z = 0$ la puoi interpretare come sistema, hai fatto.

Grazie mille! Adesso è tutto molto chiaro!