Tensore

Messaggioda lorenzo98 » 20/06/2019, 18:23

salve ragazzi, ho un esercizio che mi chiede di calcolare la matrice associata a un tensore, la matrice l'ho trovata
(0,-2,3),
(0,-4,6),
(0,-2,3) ,
ORA la mia domanda è come trovo il tipo di tensore? poichè oltre alla matrice nella soluzione è presente " Il tensore è di tipo (0,2) . Il problema è che il prof non ci ha mai spiegato l'argomento , sul libro non è presente e ho trovato formule qua è la in giro per il web per trovare la matrice, ma non riesco a calcolare il tipo . Qualcuno sa come procedere?
lorenzo98
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Re: Tensore

Messaggioda caulacau » 23/06/2019, 16:35

Un tensore di tipo $p,q$ è una applicazione lineare
\[
\tau : \underbrace{V^\lor \otimes \dots \otimes V^\lor}_{p \text{ volte}}\otimes\underbrace{V \otimes \dots \otimes V}_{q \text{ volte}} \to k
\]
o se preferisci, una multilineare
\[
\tau : \underbrace{V^\lor \times \dots \times V^\lor}_{p \text{ volte}}\times\underbrace{V \times \dots \times V}_{q \text{ volte}} \to k
\]
Questo significa che un tensore di tipo $(0,2)$ è una applicazione bilineare \(V^\lor\times V^\lor \to k\), ossia (dato che mi sembra evidente i tuoi spazi abbiano dimensione finita), una applicazione lineare \(\varphi : V^\lor \to V\), nell'isomorfismo
\[
\hom(V^\lor\otimes V^\lor , k) \cong \hom(V^\lor, V^{\lor\lor}) \cong \hom(V^\lor, V)
\] (è un fatto generale che la dualità canonica renda equivalenti per trasposizione i tensori di tipo $(p,q)$ e quelli di tipo $(q,p)$; in questo caso particolare, \(\hom(V^\lor\otimes V^\lor , k) \cong (V^\lor\otimes V^\lor )^\lor \cong V\otimes V\)).
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