Calcolare un vettore ortogonale a un piano e ricerca dei vettori linearmente dipendenti

[Cristino]

Salve ragazzi, sto avendo dei seri problemi con due esercizi che non riesco proprio a capire come risolvere e ho provato in svariati modi ma nessuno di quelli mi dà lo stesso risultato scritto dal professore.
Il primo esercizio è:
1) Sia V= { $((a,b),(c,d))$ | a,b,c $in$ $RR$ } lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche 2x2 a coefficienti in $RR$ .
per quale dei seguenti k$in$ $RR$ le matrici $((k,2),(2,2))$ $((1,k),(k,-1))$ $((3,k),(k,0))$ sono linearmente dipendenti in V. I k che mi dà sono:
- k= -1 + $sqrt(10)$
- k= 1 + $sqrt(10)$
- k= -2 + $sqrt(10)$
- k= 2 + $sqrt(10)$

Il secondo esercizio invece mi chiede: sia $E^3$ lo spazio euclideo standard e $\pi$ $sub$ $E^3$ il piano di equazione -2x+y+z=0. Quale dei seguenti vettori è la proiezione ortogonale di $((2,3,-1))$ sul piano $\pi$ ?
- $((4/3,-10/3,2/3))$
- $((4/3,10/3,-2/3))$
- $((-4/3,10/3,2/3))$
- $((4/3,-10/3,-2/3))$

Non so se ho scritto bene le formule, è la prima volta che scrivo qui. Quindi nel caso scusatemi, e grazie mille in anticipo!

[Bokonon]

Ciao Cristino, benvenuto.
Sei stato bravissimo con le formule.

Per il primo esercizio, potresti associare un vettore ad ogni matrice e metterli in colonna in una matrice:
$ ( ( k , 1 , 3 ),( 2 , k , k ),( 2 , k , k ),( 2 , -1 , 0 ) ) $
e poi ridurre con Gauss-Jordan e vedere per quali valori i pivot si annullano. Le soluzioni sono $2+-sqrt(10)$

Per il secondo problema, potresti considerare il vettore composto dai coefficienti del piano $(-2,1,1)$
Tutti i vettori che appartengono al piano sono perpendicolari ad esso, pertanto possiamo scrivere la retta $r$ che passa per il punto $(2,3,-1)$ ed è perpendicolare al piano $pi$:
$ r:{( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( -2 ),( 1 ),( 1 ) )+( ( 2 ),( 3 ),( -1 ) ) $ ovvero $ { ( x=-2t+2 ),( y=t+3 ),( t-1 ):} $ e da qua ti ricavi un paio di equazioni cartesiane a piacere da mettere a sistema con $pi$.

Un altro modo (più elegante IMHO) è trovare la matrice di proiezione $ P=1/6( ( 2 , 2 , 2 ),( 2 , 5 , -1 ),( 2 , -1 , 5 ) ) $
Moltiplicando $ P( ( 2 ),( 3 ),( -1 ) )=( ( 4/3 ),( 10/3 ),( -2/3 ) ) $

[Cristino]

Ooooooh grazie mille, stavo veramente impazzendo. Grazie grazie