Esercizio continuità e aderenza in \( \mathbb{R}^n \)

[marco2132k]

Ciao. Quello che segue è un esercizio (che faccio perché è da fine maggio che non prendo un libro di matematica in mano e sto per dimenticarmi anche la definizione di spazio ).

Si definisca una funzione continua come un funzione che rispetta la relazione di aderenza. Intendo dire che \( f\colon X_1\to X_2 \) è continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).

Ora, se \( f\colon X\to\mathbb{R}^n \) è una funzione tra (sottoinsiemi di) spazi euclidei, essa è continua se e solo se le sue componenti \( f_i\colon X\to\mathbb{R} \), per \( i=1,\dots,n \), sono continue.

Ovviamente, sono cieco davanti al fatto che il prodotto di spazi sia costruito per garantire questa proposizione. (Perché l'esercizio lo richiede).

Dimostrazione. Siano le \( n \) componenti continue. Sia \( x \) aderente ad un \( A\subset X \); allora, per un \( \delta>0 \) esistono \( y_1,\dots,y_n \) punti rispettivamente appartenenti a \( \left(f_i\right)_*A \) tali che \( d\left(f_i(x),y_i\right)<\delta/\sqrt{n} \). Quello che dovrei provare a questo punto, è l'esistenza di un \( y\in f_*A \) tale che \( d\left(f(x),y\right)\) sia minore di \( \delta \), ma incontro una difficoltà. L'idea un po' ignorante è di considerare il punto \( y=\left(y_1,\dots,y_n\right) \), e notare che vale (usando volontariamente gli stessi simboli per le distanze dei rispettivi spazi)
\[
\textstyle{\sum_i d\left(f_i(x),y_i\right)^2}=d\left(f(x),y\right)^2 < \delta^2
\] e quindi la tesi. Ma \( y \) appartiene all'immagine di \( A \) secondo \( f \)? Quello che so di per certo, è che \( y \) appartiene al prodotto \( \prod_i\left(f_i\right)_*A \), del quale \( f_*A \) è sottoinsieme. Devo procedere per forza per assurdo?

L'inversa è notevolmente più semplice. Se \( f\colon x\mapsto\left(f_1(x),\dots,f_n(x)\right) \) è continua e \( x \) è sempre aderente ad \( A \), preso \( \delta>0 \) esiste un \( y=\left(y_1\dots,y_n\right) \) in \( f_*A \), e quindi in definitiva \( n \) punti \( y_1,\dots,y_n \) di \( \left(f_i\right)_*A \), tale o tali che
\[
\textstyle d\left(f(x),y\right)=\sqrt{\sum_i d\left(f_i(x),y_i\right)^2}<\delta\quad\text{ossia}\quad d(f(x_i),y_i)<\delta
\] per ogni \( i=1,\dots,n \). \( \square \)

[vict85]

Hai una impostazione molto analitica per vedere la topologia, o per lo meno il tuo corso la presenta così. Sulla prima parte non capisco il tuo problema, è evidente che \(f_{\star} = (f_{1\star},\cdots, f_{n\star})\). Insomma, è una diretta conseguenza del fatto che \(f = (f_{1},\cdots, f_{n})\). La dimostrazione mi sembra vada bene.

Per quanto riguarda la dimostrazione inversa avrei solo aggiunto il passo esplicito che \(\delta > d\bigl(f(x), y\bigr)^2 \ge d\bigl(f_1(x),y_i\bigr)\). Insomma, lo hai scritto ma più che un ossia avrei usato un pertanto/perciò/quindi. Ossia è, a mio avviso, più per espressioni equivalenti che per conseguenza logiche.

[marco2132k]

Grazie per la risposta @vict85. Sì, nella seconda parte ho saltato un po’, ma era una cosa che già avevo visto in passato in una forma simile. Per quanto riguarda la prima invece, ti confesso che non mi è chiaro che cosa intendi con la scrittura \( f_*=\left(f_{1*},\dots,f_{n*}\right) \).

[vict85]

Mi sono reso conto di aver scritto una cosa falsa. L'immagine dell'insieme è dimensionalmente più piccolo del prodotto delle immagini.

[edit] Comunque l'aderenza non richiede che il valore appartenga all'insieme, ma solo che i suoi intorni abbiano intersezione non vuota con quell'insieme.

[marco2132k]

Sì, esatto, il mio problema è sostanzialmente questo. Per provare che l'intersezione di ogni intorno di \( f(x) \), dove \( x \) è aderente all'\( A\subset X \), con l'immagine di \( A \) non è vuota, ho cercato di far vedere che il punto \( y=\left(y_1,\dots,y_n\right) \) (con la notazione dell'op), che appartiene di sicuro a ciascuno di questi intorni, appartiene anche ad \( f_*A \). Non riesco a provare che la congettura regge, però. Ci devo pensare su un attimo, ché forse c'è un altro modo.

[vict85]

Però, in fin dei conti, quello che stai facendo è fissare una palla aperta \(B(y, \delta)\) centrata in \(y\) per poi cercare un intorno \(U\) di \(x\) tale che \(f_{\star}U\subseteq B(y,\delta)\). Ora, tu sai che \(\bigl(\prod (f_{i})_{\star}\bigr)U \supseteq f_{\star}U\). Pertanto, ti è sufficiente trovare un \(U\) tale che \(\bigl(\prod (f_{i})_{\star}\bigr)U\subseteq B(y,\delta)\). O mi sbaglio?

[marco2132k]

Però, in fin dei conti, quello che stai facendo è fissare una palla aperta \( B(y, \delta) \) centrata in \( y \) per poi cercare un intorno \( U \) di \( x \) tale che \( f_{\star}U\subseteq B(y,\delta) \).

In questo modo, cosa dimostrerei? Ossia, non mi è molto chiaro perché dimostrare questo proverebbe che ogni intorno di \( f(x) \) ha un punto in comune con \( f_*A \).

Al contrario, ho considerato una palla aperta \( B(f(x),\delta) \) di centro \( f(x) \), e sto cercando di dimostrare che \( y\in B(f(x),\delta)\cap f_*A \).