Omomorfismo: da quadrato a cerchio

[kino]

Salve,
ho fatto un esame (I anno unviversità ) di algebra lineare e geometria analica.
Uno dei quesiti era il seguente:

Sia un omomorfismo (da R2 a R2) ) che porti i vertici di un quadrato (0,0) (0,3) (3,0) (3,3) in un cerchio di centro (0,0) e raggio 2. Quali tra questi

a) (1,0) -> (1/2,1/3)
(0,1) -> (-1/4,+1/4)

b) (0,3)-> (-1,1/2)
(3,3)->(4/3,0)

c) (0,3)->(1,1)
(3,0)->(2/3,1)

d) (1,0)->(0,2)
(0,1)->(2,0)

Io ho risposta "a" un pò per esclusione. (Diciamo che ho tirato ad indivinare )
Non ho capito qual'è il procedimento generale per questo tipo di esercizio.
Grazie mille in anticipo a chi risponderà.

[marco2132k]

Sia \( L_1 \) l'omomorfismo¹ a) che manda i vettori \( e_1=\bigl(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\bigr) \) ed \( e_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\bigr) \) della base canonica rispettivamente nei punti \( \bigl(\begin{smallmatrix}1/2\\1/3\end{smallmatrix}\bigr) \) e \( \bigl(\begin{smallmatrix}-1/4\\1/4\end{smallmatrix}\bigr) \). Allora, ad esempio, il vertice \( \bigl(\begin{smallmatrix}3\\0\end{smallmatrix}\bigr) \), ossia il vettore \( 3e_1+0e_2 \), viene mandato in \( L_1\left(3e_1+0e_2\right)=3L_1\left(e_1\right) \), che non appartiene al cerchio (perché?).

Ho interpretato, comunque, quello che hai scritto tu come: "Quale omomorfismo manda i vertici di quel quadrato nel circolo di equazione \( x^2+y^2=4 \)?". In ogni caso, sei sicuro di aver riportato correttamente il testo dell'ese?

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Note

1. Credo che tu con questa parola stia intendendo "applicazione lineare", eh. ↑

[kino]

Grazie mille per la risposta davvero gentile.
La tua interpretazione è corretta. Tieni conto che il test è stato fatto a PC e "la brutta" andava consegnata.
Io mi sono scritto su un pezzetto di carta da formaggio gli esercizi in dubbio, nel caso mi li chiederanno all'orale (se ci arrivo).
Provo a risponderti:
3*L1(e1) non appartiene al cerchio perchè (scrivendo in riga)

3*(1/2, 1/3) = (3/2, 3/3)

da cui ricavo il raggio al quadrato

(3/2)^2 +( 3/3)^2

che non mi da 4.
Ma nessuno dei quattro caso mi pare soddisfi la richiesta o sbalgio io qualcosa?
Grazie ancora