Gruppi \( p \) di rotazioni

[3m0o]

Sono a conoscenza che le immagini si perdono come le lacrime nella pioggia ma non vedo come altro fare per porre questa domanda.
Mi domanda è la seguente:
Per ciascuna delle pavimentazioni delle figure associate
a) Dare il tipo di gruppo delle rotazioni affini che preservano la pavimentazione
b) Esistono delle simmetrie (assiali o no) che preservano la pavimentazione?

Le soluzioni dicono
a)Figura 1 di tipo \( p2 \) mentre la figura 2 di tipo \( p6 \).
b) Figura 1: si simmetria "glissee" (scusate non so la traduzione) Figura 2: nessuna simmetria

a) Non capisco come fa a determinare la tipologia. Noi abbiamo questa definizione
Sia \( G \) un gruppo cristallografico contenuto in \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^+ \) e una pavimentazione \( \mathcal{P} \) associato. Diciamo che \( \mathcal{P} \) è di tipo \( p1,p2,p3,p4 \) o \(p6 \) a dipendenza dell'ordine massimale di una rotazione contenuta in \( G \), che può essere 1,2,3,4 o 6.

b) Non capisco come fa a determinare la risposta...

Figura 1:


Figura 2:


Grazie mille.

[3m0o]

Correggetemi se sbaglio: prendiamo in esame la figura 2. Posso prendere una qualunque forma ripetuta e cercare la rotazione con ordine massimale presente per quella figura.
Ad esempio potrei considerare un pesciolino (per capirci quello blu in alto a sinistra che guarda in alto) posso trovare una rotazione di angolo \( -\pi \) che me lo trasforma al pesce blu tutto a sinistra e circa in mezzo che guarda in basso. Applicando nuovamente questa rotazione torna sé stesso. Questa rotazione è di ordine 2. Ma posso trovare una rotazione di ordine 6. Prendiamo in esame i 6 pesciolini in alto a sinistra che formano un "esagono" e una rotazione di angolo \( - \pi/3 \), il blu -> rosso -> giallo -> blu -> rosso - > giallo. Quindi applicando 6 volte questa rotazione al pesciolino blu ritorna sé stesso.

Oppure devo considerare forzatamente un dominio fondamentale della mia pavimentazione? Cioé posso applicare il ragionamento sopra con solamente le code dei pesci? Con un pesce? Con un triangolo formato dai pesci rosso, blu, giallo? Con un esagono formato da 6 pesci?