Ciao. Sia \( f\colon X_1\to X_2 \) continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).
Voglio provare che una funzione lineare dell'euclideo \( \mathbb{R}^n\) in \( \mathbb{R} \) è continua, con questa caratterizzazione di continuità (è un esercizio).
Dimostrazione
Sia \( f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) lineare, e sia \( x=\sum_i x_iv_i \) un punto aderente ad un sottoinsieme \( A \) del dominio, espresso in una base \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Per un \( \delta>0 \), posto \( \delta'=\delta/n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert} \), esiste un punto \( y=\sum_i y_iv_i \) di \( \mathbb{R}^n \) tale che \( \lVert x-y\rVert<\delta' \). Dico che anche \( \lvert fx-fy\rvert<\delta \); si ha infatti
\[
\begin{split}
\lvert fx-fy\rvert &=\lvert\sum_i \left(x_i-y_i\right)fv_i\rvert\\
&\leqq\sum_i \lvert x_i-y_i\rvert\lvert fv_i\rvert\\
&\leqq\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert x_i-y_i\rvert}\cdot{n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert}}
\end{split}
\] dove, tenendo conto che vale, per ogni \( i=1,\dots,n \), la disuguaglianza \( \lvert x_i-y_i\rvert<\delta' \), sarà anche
\[
\lvert fx-fy\rvert < \delta'\cdot{n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert}}
\] nonché la tesi. \( \square \)
Ho notato e corretto, prima di postare, qualche errore di battitura qua e là. Ora non ho tempo di controllare tutto, ma domani sistemerò subito eventuali refusi rimanenti.