Le applicazioni lineari rispettano la relazione di aderenza

Messaggioda marco2132k » 22/06/2019, 18:14

Ciao. Sia \( f\colon X_1\to X_2 \) continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).

Voglio provare che una funzione lineare dell'euclideo \( \mathbb{R}^n\) in \( \mathbb{R} \) è continua, con questa caratterizzazione di continuità (è un esercizio).

Dimostrazione
Sia \( f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) lineare, e sia \( x=\sum_i x_iv_i \) un punto aderente ad un sottoinsieme \( A \) del dominio, espresso in una base \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Per un \( \delta>0 \), posto \( \delta'=\delta/n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert} \), esiste un punto \( y=\sum_i y_iv_i \) di \( \mathbb{R}^n \) tale che \( \lVert x-y\rVert<\delta' \). Dico che anche \( \lvert fx-fy\rvert<\delta \); si ha infatti
\[
\begin{split}
\lvert fx-fy\rvert &=\lvert\sum_i \left(x_i-y_i\right)fv_i\rvert\\
&\leqq\sum_i \lvert x_i-y_i\rvert\lvert fv_i\rvert\\
&\leqq\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert x_i-y_i\rvert}\cdot{n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert}}
\end{split}
\] dove, tenendo conto che vale, per ogni \( i=1,\dots,n \), la disuguaglianza \( \lvert x_i-y_i\rvert<\delta' \), sarà anche
\[
\lvert fx-fy\rvert < \delta'\cdot{n\max_{1\leqq i\leqq n}{\lvert fv_i\rvert}}
\] nonché la tesi. \( \square \)

Ho notato e corretto, prima di postare, qualche errore di battitura qua e là. Ora non ho tempo di controllare tutto, ma domani sistemerò subito eventuali refusi rimanenti.
marco2132k
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Re: Le applicazioni lineari rispettano la relazione di aderenza

Messaggioda caulacau » 24/06/2019, 16:58

Mi sembra che tu stia tacitamente usando una descrizione equivalente della relazione di aderenza in uno spazio metrizzabile, che è uno spazio vettoriale di dimensione finita: queste ipotesi sono necessarie?
E poi non è realmente evidente cosa cerchi di dimostrare, proprio data l'equivalenza logica che stai mantenendo implicita.

Se \((X, \tau)\) è uno spazio topologico, definiamo una relazione \(\asymp\) su \(X \times 2^X\) come segue:
\[
x \asymp U \iff V\in \tau, x : V_x \vdash V_x\cap U\neq\emptyset
\] adesso la tua tesi è che se \( f : X \to Y\) è una mappa lineare tra due SVT, allora \(x \asymp U \Rightarrow fx \asymp fU\).

Se davvero il tuo scopo è fare un esercizio, usa questa definizione.
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Re: Le applicazioni lineari rispettano la relazione di aderenza

Messaggioda marco2132k » 24/06/2019, 18:13

Grazie per la risposta.
caulacau ha scritto:Mi sembra che tu stia tacitamente usando una descrizione equivalente della relazione di aderenza in uno spazio metrizzabile, che è uno spazio vettoriale di dimensione finita
Se \( x \) e \( U\subset X \) sono rispettivamente un punto e un sottoinsieme di uno spazio topologico \( X \), dico che \( x \) è aderente a \( U \) se l'intersezione di ogni intorno di \( x \) con \( U \) non è vuota. A scanso di equivoci, definisco un intorno di un punto \( x \) come un insieme contenente un aperto di \( X \) contenente \( x \).

caulacau ha scritto:queste ipotesi sono necessarie?
Se per "queste ipotesi" intendi il considerare $\mathbb{R}^n $ con la norma classica, o scegliere una base in un qualsiasi spazio normato, probabilmente no (sicuramente, vale almeno per qualsiasi norma di \( \mathbb{R}^n \)).

Quello che ho cercato di provare è che presa una funzione lineare \( f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) tra due spazi euclidei, che intendo con la topologia standard, essa rispetta la relazione di aderenza. Ossia, preso \( x\in\mathbb{R}^n \) aderente ad un sottoinsieme \( U\subset\mathbb{R}^n \), allora \( fx \) è aderente a \( f_*U \). È solo il caso particolare che mi interessa, per questo post.

A patto di prendere SVT normati, non credo che la cosa sia molto diversa (ma mi rendo conto che fa abbastanza schifo come modo di procedere). Però qui, per SVT qualunque, ti rispondo dopo che ho visto qualcosa in termini più generali sugli spazi prodotto, e sugli spazi vettoriali topologici stessi.
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