Vorrei capire se il mio ragionamento è corretto per risolvere questo esercizio.
Per una festa un impresa di decorazioni decide di proporre degli ottaedri regolari i cui vertici sono delle palline colorate legate da dei tubi metallici
1) Se l'impresa dispone di \( m \geq 1 \) colori, quanti modelli differenti potra proppore? (Supponendo che i dubi hanno lo stesso colore)
2) L'impresa decide infine di colorare anche i tubi (indipendentemente dalle palline). Quanti modelli può creare, se disponde di \( m \) colore per le palline e \( n \) per i tubi?
Applichiamo la formula di Burnside tenendo conto per ciascun tipo di rotazione il numero di punti fissi dell ottaedro i cui 6 vertici sono colorati.
Abbiamo 5 classi di rotazioni per il gruppo \( G \) delle rotazioni di un ottaedro, che è isomorfo al gruppo simmetrico \( \mathfrak{S}_4 \) di ordine 24, ed essendo il cubo il politopo duale, il gruppo di rotazioni dell ottaedro è costituido delle stesse rotazioni del cubo iscritto.
Un cubo possiede 6 facce, 12 spigoli, 8 vertici e pertanto \( G \) è composto :
-dal'identità d'asse di rotazione passante "ovunque" e di ordine 1
-da \(a_1 \times b_1 \) rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine \(c_1 \)
-da \(a_2 \times b_2 \) rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine \(c_2 \)
-da \(a_3 \times b_3 \) rotazioni di asse passante per due vertici opposti di ordine \(c_3 \)
-da \(a_4 \times b_4 \) rotazioni di asse passante per due spigoli opposti di ordine \(c_4 \)
Abbiamo che \( b_i = N(D_i) /2 \); dove \( D_i \in \{ \) facce, spigoli, vertici \( \} \) e \( N(D_i) \) indica il numero di \( D_i \) presenti nel cubo. Dunque \( b_{1,2}= 3 \), \( b_3=4 \) e \( b_4=6 \).
\( c_4 = 2 \) (sono andato a memoria non so se c'è un modo per trovarlo) è primo dunque \( a_4 = c_4 -1 = 1 \),
siccome le facce del ottaedro sono di dei triangoli allora \( c_3 = 3 \) che è primo allora \( a_3 = 2 \).
\( c_2 = 2 \) (come \( c_4 \) a memoria) che è primo allora \( a_2 = 1 \).
\( c_1 = 4 \) abbiamo due rotazioni d'ordine \( 4 \) che lasciano invariato il cubo. Dunque \( a_1=2 \)
Pertanto G è composto da:
-dal'identità d'asse di rotazione passante "ovunque" e di ordine 1
-da \(6 \) rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine \(4 \)
-da \(3\) rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine \(2 \)
-da \(8 \) rotazioni di asse passante per due vertici opposti di ordine \(3 \)
-da \(6 \) rotazioni di asse passante per due spigoli opposti di ordine \(2 \)
Dunque per un ottaedro
-dal'identità d'asse di rotazione passante "ovunque" e di ordine 1
-da \(6 \) rotazioni di asse passante per due vertici opposti di ordine \(4 \)
-da \(3\) rotazioni di asse passante per due vertici opposti di ordine \(2 \)
-da \(8 \) rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine \(3 \)
-da \(6 \) rotazioni di asse passante per due spigoli opposti di ordine \(2 \)
Possiamo applicare la formula di Burnside
\[ \frac{1}{\begin{vmatrix}G\end{vmatrix}} \sum\limits_{g \in G } \begin{vmatrix} X^g \end{vmatrix} \]
-Abbiamo una scelta di \( m \) colori dunque per l'identità abbiamo una scelta \(m \) di colori per ogni vertice dell ottaedro in quanto tutti i vertici sono punti fissi dell'identità, pertanto \( m^6 \) possibili modelli.
- Per le 6 rotazioni di asse passante per due vertici di ordine 4. Per i due vertici passanti per gli assi abbiamo \( m \) scelte di colori per ciascuno in quanto sono punti fissi. Per i restanti 4 fissato il colore di uno abbiamo fissato il colore di tutti gli altri, dunque abbiamo solo \( m \) scelte, dunque in totale \( 6m^3 \) possibili.
- Per 3 rotazioni di asse passante per due vertici opposti di ordine 2, come prima per i due vertici passanti per l'asse sono punti fissi perché non si muovono dunque \( m^2 \) scelte, inoltre per gli altri 4 vertici abbiamo che determinato un colore di un vertice determiniamo il colore di quello opposto. Dunque abbiamo in totale \( 3 m^4 \) modelli possibili.
-Per le 8 rotazioni di asse passante per due facce opposte di ordine 3. Ragionando sul politopo duale direi che ho per vertici del ottaedro la scelta del colore (ma non sono sicuro).
- Per le 6 rotazioni di asse passante per due spigoli opposti di ordine 2. Ragionando sul politopo come prima direi che ho per 3 vertici dell ottaedro la scelta del colore (ma anche qui non sono sicuro).
Dunque
Numero di modelli totali = \( \frac{1}{24}(m^6 +3m^4+ 6m^3+8m^2 + 6m^3)= \frac{1}{24}(m^6 + 3m^4 + 12m^3+3m^4+8m^2) \)
Per il punto b) ho provato a ragionare come sopra ma il numero degli spigoli "liberi" ovvero per quanti ho una scelta di \( n \) colori, non riesco proprio a vederlo, qualcuno può aiutarmi? La soluzione dice:
Numero totali di modelli = \( \frac{1}{24}(m^6n^{12} +3m^4n^6+ 6m^3n^3+8m^2n^4 + 6m^3n^7) \)