Dubbio sul trovare il kernel di una funzione

[matt3o98_]

Ciao a tutti, ho fatto il seguente esercizio:
"Trovare il kernel della seguente funzione f(x,y,z,t) = (2z,z,y-z-t)"
Mi sono convertito i vettori base di R4:
f(0,0,0,1) = (0,0,-1) ;
f(0,0,1,0) = (2,1,-1) ;
f(0,1,0,0) = (0,0,1) ;
f(1,0,0,0) = (0,0,0).

Le ho messe in una matrice sottoforma della matrice del cambiamento di base:
[0 2 0 0] = [x]
[0 1 0 0] = [y]
[-1 -1 1 0] = [z]
========= [t]

Ponendo il tutto uguale al vettore nullo.
Non mi sono trovato con la professoressa, per il semplice fatto che l'ordine delle colonne è inverso, ovvero non è partita da f(0,0,0,1) come me, ma è partita da f(1,0,0,0) e come conseguenza la matrice è diversa (righe scambiate).
La mia domada è: bisogna sempre e comunque partire da f(1,0,0,0)? Se sì perchè?
Grazie mille

[giovx24]

ciao
domanda interessante, credo che il risultato ottenuto ordinando i vettori come hai fatto tu sia errato, ma prendi ciò che ti dico con le pinze (sono solo un umile ingegnere )

secondo me la spiegazione è questa ma potrebbe essere errata, aspetta conferma da qualcuno più preparato di me

considera una base di $R^n$
$B = {v_(1_e), v_(2_e), ..., v_(n_e) }$

e un vettore scritto in tale base
$x_(B) = (a_1, a_2, ... , a_n)$

allora significa che $x_e = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n$

adesso prendiamo un'applicazione lineare ad esempio $f : R^n -> R^n$ e consideriamo le immagini della nostra base
$f(v_1) = w_(1_e)$
$f(v_2) = w_(2_e)$
$f(v_n) = w_(n_e)$

possiamo scrivere la matrice associata a tale applicazione dalla base $B$ alla base canonica $e$ in forma compatta : $(w_1, w_2, ..., w_n)$
se effettuiamo il prodotto righe per colonne con il nostro vettore $x$ otteniamo il vettore immagine $f(x)$ scritto in base $e$

ovvero $f(x) = a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n$

la dimostrazione che questo è il vettore immagine di $x$ segue dalla linearità di $f$ infatti:

$f(x) = f(a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n) = a_1f(v_1) + a_2f(v_2) + ... +a_nf(v_n) = a_1w_1+ a_2w_2 + ... +a_nw_n$

ma se tu avessi cambiato l'ordine delle colonne il risultato ottenuto dal prodotto righe per colonne sarebbe diverso da quest'ultimo e pertanto errato

[gugo82]

Non vedo perché fare tutto sto casino... Il nucleo di $f$ coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema che si ottiene uguagliando a zero le componenti di $f(x,y,z,t)$, cioè $\{ (2z=0), (z=0), (y-z-t=0):}$.
Dunque le soluzioni sono $(x,t,0,t)$ con $x,t in RR$, ossia lo spazio generato dai vettori $(1,0,0,0), (0,1,0,1)$.

[giovx24]

Non vedo perché fare tutto sto casino... Il nucleo di $f$ coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema che si ottiene uguagliando a zero le componenti di $f(x,y,z,t)$, cioè $\{ (2z=0), (z=0), (y-z-t=0):}$.
Dunque le soluzioni sono $(x,t,0,t)$ con $x,t in RR$, ossia lo spazio generato dai vettori $(1,0,0,0), (0,1,0,1)$.

ah già

[matt3o98_]

ciao
domanda interessante, credo che il risultato ottenuto ordinando i vettori come hai fatto tu sia errato, ma prendi ciò che ti dico con le pinze (sono solo un umile ingegnere )

secondo me la spiegazione è questa ma potrebbe essere errata, aspetta conferma da qualcuno più preparato di me

considera una base di $R^n$
$B = {v_(1_e), v_(2_e), ..., v_(n_e) }$

e un vettore scritto in tale base
$x_(B) = (a_1, a_2, ... , a_n)$

allora significa che $x_e = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n$

adesso prendiamo un'applicazione lineare ad esempio $f : R^n -> R^n$ e consideriamo le immagini della nostra base
$f(v_1) = w_(1_e)$
$f(v_2) = w_(2_e)$
$f(v_n) = w_(n_e)$

possiamo scrivere la matrice associata a tale applicazione dalla base $B$ alla base canonica $e$ in forma compatta : $(w_1, w_2, ..., w_n)$
se effettuiamo il prodotto righe per colonne con il nostro vettore $x$ otteniamo il vettore immagine $f(x)$ scritto in base $e$

ovvero $f(x) = a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n$

la dimostrazione che questo è il vettore immagine di $x$ segue dalla linearità di $f$ infatti:

$f(x) = f(a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n) = a_1f(v_1) + a_2f(v_2) + ... +a_nf(v_n) = a_1w_1+ a_2w_2 + ... +a_nw_n$

ma se tu avessi cambiato l'ordine delle colonne il risultato ottenuto dal prodotto righe per colonne sarebbe diverso da quest'ultimo e pertanto errato

Grazie mille!
Avrei un ultimo dubbio però:
se utilizzo una base diversa (ad esempio quella che ho utilizzato io all'inizio) e trovo il kernel mediante le matrici, se sostituisco il tutto alla funzione, essa non mi restituisce il vettore nullo.
Ad esempio trovo che il kernel è combinazione lineare del vettore (0,0,0,1), ma se lo sostistuisco in f, non mi viene il vettore nullo.
La mia domanda è: quindi le funzioni sono sempre definite secondo la base canonica standard? Perchè se io provo a cambiare base non riesco più a trovare un kernel valido.
Grazie mille ancora

[matt3o98_]

Non vedo perché fare tutto sto casino... Il nucleo di $f$ coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema che si ottiene uguagliando a zero le componenti di $f(x,y,z,t)$, cioè $\{ (2z=0), (z=0), (y-z-t=0):}$.
Dunque le soluzioni sono $(x,t,0,t)$ con $x,t in RR$, ossia lo spazio generato dai vettori $(1,0,0,0), (0,1,0,1)$.

Grazie, ma il mio dubbio era secondo quell'altro metodo di risoluzione, questo si sa, è il più rapido ed efficiente.