Consideriamo lo spazio topologico $RR/NN$ con la topologia quoziente.
Voglio dire che non è primo numerabile
(ovvero che esiste un punto che non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile).
Prova
Considero $\bar{0} \in RR/NN$ e dico che questo non ammette un sistema fondamentale di intorni.
Prendiamo ${U_n}_(n \in NN)$ famiglia di aperti di $RR/NN$ e vediamo che non può essere un sistema fondamentale di intorni per $\bar{0}$.
Ricordando la continuità della mappa di proiezione $\pi:RR->RR/NN$ si ottiene una famiglia di aperti di $RR$ data da ${V_n}_(n \in NN)$ con $V_i=\pi^(-1)(U_i)$.
Inoltre si ha $NN \subset V_i \ \ AA i \in NN$.
Adesso costruisco i seguenti aperti:
$W_i=(i-1/2, i+1/2)-{p_i}$ con $p_i \in (i-1/2,i+1/2) \nn V_i -{i}$
(cioè alla palla tolgo un punto a caso vicino al naturale i)
Ottengo che
$A=\bigcup_(n in NN) W_n$ è un aperto (unione di aperti) saturo (contiene $NN$) che non contiene nessun $V_i$ (ognuno di essi ha almeno un punto di troppo).
Quindi $\pi(A) \subset RR/NN$ è un aperto che non contiene nessun $U_i$.
Dite che può andar bene?
E' compensibile?
Avreste consigli di stile/ precisazioni da fare?