Re: Spazio topologico NON primo numerabile

Messaggioda jinsang » 26/06/2019, 21:53

Faccio un recap:

Il nostro fiorellino non è primo numerabile. La dimostrazione è questa
jinsang ha scritto:Prova
Considero $\bar{0} \in RR/NN$ e dico che questo non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Prendiamo ${U_n}_(n \in NN)$ famiglia di aperti di $RR/NN$ che contengono $\bar{0}$ e vediamo che non può essere un sistema fondamentale di intorni per $\bar{0}$.
Ricordando la continuità della mappa di proiezione $\pi:RR->RR/NN$ si ottiene una famiglia di aperti di $RR$ data da ${V_n}_(n \in NN)$ con $V_i=\pi^(-1)(U_i)$.
Inoltre si ha $NN \subset V_i \ \ AA i \in NN$.

Adesso costruisco i seguenti aperti:
$W_i=(i-1/2, i+1/2)-{p_i}$ con $p_i \in (i-1/2,i+1/2) \nn V_i -{i}$
(cioè alla palla tolgo un punto a caso vicino al naturale i)
Ottengo che
$A=\bigcup_(n in NN) W_n$ è un aperto (unione di aperti) saturo (contiene $NN$) che non contiene nessun $V_i$ (ognuno di essi ha almeno un punto di troppo).
Quindi $\pi(A) \subset RR/NN$ è un aperto che non contiene nessun $U_i$.
Nell'ultimo passaggio $\pi(A) \subset RR/NN$ è aperto perché $A$ è saturo.

(Per semplificare la dimostrazione sopra invece di togliere punti a caso si poteva anche considerare intorni sufficientemente piccoli, come ha osservato vict85)
(Nota: ho corretto qualche imprecisione, comunque chi fosse interessato le trova tutte nel mio primo messaggio :-D )

Inoltre si dimostra che la proiezione non è una mappa aperta (contrariamente a quanto pensavo).
La prova che la proiezione non è aperta è questa:
arnett ha scritto:No: se fai la controimmagine trovi $ (7/8, 9/8)\cup\NN $. Infatti $ q(7/8, 9/8) $ è fatto da un trattino su un solo petalo: comprende il punto a cui è stato collassato $ \NN $, ma poi comprende punti solo di un petalo. Stesso discorso per quando dimostri con la base euclidea che la mappa è aperta.


Se inoltre la proiezione fosse aperta potrei fare questo ragionamento:
arnett ha scritto:Perché se la mappa quoziente $ q $ fosse stata aperta avresti potuto scegliere, per ogni $ p\in \RR/\NN $ un punto $ \tilde p \in \RR $ nella controimmagine $ q^{-1}({p}) $, poi prendere un suo sistema fondamentale di intorni numerabile $ \mathcal{U}(\tilde p) $ e usare come sistema fondamentale di intorni numerabile di $ p $ semplicemente la collezione dei $ q(U), U\in\mathcal{U}(\tilde p) $.

Cioè se la proiezione fosse stata aperta avrei avuto la primo numerabilità.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
j18eos ha scritto:P.S.: se fai un'operazione analoga (il così detto collasso) con \( \displaystyle\mathbb{Z} \), ottieni la margherita topologica. ;)

Vero, molto carina :D.
In più direi che anche questo spazio non è primo numerabile e anche qui la proiezione non è aperta, con argomentazioni analoghe ;).
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